Алгебраические свойства операций над множествами

После изучения операций над множествами следует рассмотреть свойства этих операций и связи между ними. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных операций сложения и умножения чисел. Свойства записываются в виде тождеств и не зависят от того, каково универсальное множество U и какие именно конкретные его подмножества в них фигурируют. Далее формулируются основные свойства объединения и пересечения.

Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы следующие тождества, которые приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

	Коммутативность
для объединения	для пересечения
1a	A È B = B È A	1b	A Ç B = B Ç A
	Ассоциативность
2а	A È (B È C) = (A È B) È C	2b	A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
	Дистрибутивность
3а	AÈ(BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC)	3b	A Ç(BÈC) = (AÇB)È(AÇC)
	Операции с пустым и универсальным множествами
4а	A È Æ = A	4b	A Ç U = A
5а	A È= U	5b	A Ç = Æ

 

Каждое из этих тождеств можно доказать, показав, что множество, стоящее по одну сторону тождества включено во множество, стоящее по другую сторону. Если:

1. Операции объединения множеств È поставить в соответствие операцию сложения чисел.
2. Операции пересечения Ç поставить в соответствие операцию умножения чисел.
3. Универсальному множеству U поставить в соответствие единицу.
4. Пустому множеству Æ поставить в соответствие нуль, то возникает аналогия между множествами и числами.

Закон коммутативности для множеств в табл. 2.1 аналогичен переместительному закону для чисел:

1a

a+b=b+а;

1b

a × b = b × а;

 

Закон ассоциативности для множеств в табл. 2.1 аналогичен сочетательному закону для чисел:

2a

a+(b+c)=(a+b)+c;

2b

a × (b × c) = (a × b) × c.

 

Закон дистрибутивности 3б) для множеств в табл. 2.1 аналогичен распределительному закону для чисел: a × (b+c) = a × b+a × c.

Закон дистрибутивности 3а) для множеств нарушается для чисел.

Десять свойств, сформулированных в этом разделе, являются фундаментальными в том смысле, что все остальные свойства операций над множествами непосредственно следуют из них.