Задачи, связанные с перестановками, относятся к задачам комбинаторики. Например, перестановка книг на полках. В таких задачах подсчитывается количество возможных вариантов перестановок, причем в каждой комбинации должны присутствовать все объекты строго по одному разу.
Определение 1: Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n – различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
| Рn = n! = 1× 2× 3× …× n. | (3.1) |
где: Рn – количество перестановок;
n! = 1 · 2 · 3· … · (n - 1) · n – произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно есть «n-факториал».
Необходимо учитывать, что факториал нуля равен единице: 0! = 1.
Пример 1.
Определить количество трехзначных чисел, которые можно составить из трех цифр: 3, 5, 7, с учётом использования каждой цифры в числе строго по одному разу.
Решение.
Количество трехзначных чисел в данном примере определяется по формуле перестановок (3.1) и равно: Р3= 1× 2× 3=6.
Пример 2.
Подсчитать количество способов расстановки на полке 5 разных книг.
Решение.
На первое место можно поставить любую из 5 книг, для каждого варианта первой книги на второе место может быть поставлена любая из оставшихся 4 книг. Итак, число перестановок из 5 книг равно:
5! = 5×4×3×2×1= 120.