СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

 

Под системой счисления понимается совокупность приемов и правил представления чисел в виде конечного числа символов. Система счисления имеет свой алфавит – упорядоченный набор символов (цифр) и совокупность операций образования чисел из этих символов. Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Алфавит включает символы I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D(500), M (1000). Значение числа, представленного в римской системе, определяется как сумма или разность цифр в числе, при этом, если меньшая цифра стоит перед большей цифрой, то она вычитается из последней, если после – прибавляется. Например, десятичное число 1998 в римской системе имеет вид MCMXCVIII. Непозиционные системы сложны и громоздки при записи чисел и мало удобны при выполнении арифметических операций.

Среди позиционных систем наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы. До сих пор используются отголоски 60 –ричной и 12 – ричной систем (в 1 минуте 60 секунд, в 1 часе 60 минут, часто применяется дюжина -12, в круге содержится 30 дюжин градусов, в сутках две дюжины часов, 1 фут равен 12 дюймам и т.д.).

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система характеризуется своим алфавитом цифр и основанием (2, 8, 10, 16). Основание системы равно количеству цифр используемого алфавита. В качестве алфавита берутся последовательные целые числа 0, 1, 2….(p-1). Если система счисления требует использования цифр больших 9, то применяются буквы латинского алфавита (например, в 16- ричной системе это буквы A, B, C, D, E, F). Арифметические действия над числами в системе с любым основанием выполняются по тем же правилам, что и в наиболее привычной для нас десятичной системе, с той только разницей, что надо применять те таблицы сложения и умножения, которые справедливы для данной системы счисления.

Само число в произвольной p - ичной системе счисления (основание системы равно p) представляется в следующем виде

, (1)

при этом число изображается как последовательность цифр , т.е.

 

.

 

Целесообразно рассмотреть следующие задачи:

1. Перевод чисел в десятичную систему из других систем (двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной).

Эта задача решается наиболее просто: процедура сводится к вычислению многочлена в правой части (1) в десятичной системе.

Например, .

2. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы.

Перевод целой части числа осуществляется делением этой части числа а основание системы, в которую выполняется перевод, а дробной части – ее умножением на основание системы. При этом обе операции выполняются в десятичной системе.

 

Пример 1.Перевести число 23 из десятичной системы в двоичную систему:

-22
-10
1	- 4
1	- 2
1
0

 

=10111₂ (собираются остатки от деления на 2 в порядке, обратном их получению).

 

Пример 2. Перевести число 0.24 из десятичной системы в пятеричную систему:

0.24₁₀ = =0.11₅ (умножается дробная часть числа на основание системы, равное в нашем примере 5, дробная часть полученного произведения снова умножается на 5 и т.д., а затем собираются целые части полученных произведений в порядке их получения).

 

Пример 3.Перевести число 0.24 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему:

0.24₁₀= 0.3D7₁₆

3. Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и обратный перевод.

Эту операцию проводят с использованием триад и тетрад (три и четыре разряда в двоичном представлении числа). Для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную число разбивают на триады влево о вправо от запятой, и в случае, когда последняя триада оказывается неполной, она дополняется нулями: для целой части – слева до трех разрядов, а для дробной части – справа. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой. Аналогично для перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную число разбивают на тетрады, и каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

 

Пример 1.Перевести число из двоичной системы в восьмеричную.

10011100,1001₂=010’011’100,100’100₂=234,44₈

Обратный перевод осуществляется заменой каждой цифры триадой или тетрадой.

 

В задачах индикации данных в десятичном представлении оказывается удобной двоично-десятичная система счисления. В этой системе десятичные цифры от 0 до 9 представляются двоичными комбинациями от 0000 до 1001.

При работе с отрицательными числами удобна двоичная дополнительная или обратная арифметика.

В современной вычислительной технике используется в основном двоичная система счисления. Ее главное преимущество состоит в том, что практическая реализация устройств, построенных на базе этой системе, возможно при использовании технических устройств лишь с двумя устойчивыми состояниями (материал намагничен или размагничен, заряд есть или нет, отверстие есть или нет и т.д.). В результате обеспечивается высокая надежность, помехоустойчивость систем, появляется возможность применять хорошо разработанный аппарат булевой алгебры и существенно упрощается выполнение арифметических операций. Главный недостаток двоичной системы - большое число разрядов при записи больших чисел.

Следует отметить, что с точки зрения построения кодов для устройств передачи, хранения и преобразования данных наиболее экономичной является система счисления с основанием 3. При этом произведение количества различных символов в алфавите системы и количества разрядов оказывается минимальным.