Основные характеристики распределения Пуассона. Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Рm равна единице.
Используем разложение функции ех в ряд Маклорена Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв ха, получим следовательно Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений Первый член суммы соответствующий m0 равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m1 Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х. Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Однако, удобнее ее вычислять по формуле Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х По ранее доказанному кроме того, следовательно, Далее можно найти дисперсию случайной величины Х Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию а. Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона.
Для этого определяют из опыта статистические характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины.
Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы. 4.