Связь с биномиальным распределением.
Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме - не единственное условие, при котором возникает распределение Пуассона.
Например, можно доказать, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения. Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р вероятность возможного значения Хm числа m появлений события вычисляется по формуле Бернулли Если одновременно устремить число опытов n к бесконечности, а вероятность p - к нулю, причем их произведение np сохраняет постоянное значение npa, то предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде Из условия npa следует, что Таким образом, получается что было доказано выше. Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике.
Допустим, что производится большое количество независимых опытов n, в каждом из которых событие А имеет очень малую вероятность р. Тогда для вычисления вероятности Рnm того, что событие А появится ровно m раз, вместо точных биномиальных формул можно воспользоваться приближенной формулой где npa - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.
От этого свойства закона Пуассона - выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события - происходит его название закон редких явлений. 7.