Примеры из практики. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
Решение. Т.к. по условию n1000 достаточно велико, а m0,002 мало, можно воспользоваться распределением Пуассона где аnp10000,0022. 2. При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна р0,01. Считая применимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью р0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз. Решение.
События указанный эффект наблюдался по крайней мере один раз обозначим через Р и указанный эффект не наблюдался ни одного раза обозначим через Q, очевидно, являются противоположными.
Следовательно, PQ1, откуда Р1-Q1-Pn01-e-a. По условию Р0,95, следовательно е-а0,05, аnp3, откуда Таким образом, искомое среднее число образцов, которое необходимо испытать 300 штук. 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,98 Решение.
Вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить, очевидно, велико, поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближенно распределение Пуассона. События ни один из купленных билетов не является выигрышным и хотя бы один билет - выигрышный - противоположные. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице Рn0P1, или Р1-Рn01- 1-е-а. По условию, Р0,98, или 1-е-а0,98. Откуда е-а0,02. По таблице найдем е-3,90,02. Т.к. функция е-х - убывающая, предыдущее неравенство выполняется при а3,9, или np3,9. Отсюда n3,90,01390. Таким образом, надо купить не менее 390 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них. 4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова за две секунды на АТС поступит меньше двух вызовов.
Решение. Среднее число вызовов за две секунды равно Вероятность того, что на станцию в течение 2-ух секунд не поступит ни одного вызова равна Событие, состоящее в поступлении менее двух вызовов, означает, что на станцию либо не поступило ни одного вызова, либо поступил только один. Таким образом, вероятность поступления менее 2-ух вызовов за то же время равна 5. Случайная величина Х - число электронов, вылетающих с нагретого катода электронной лампы в течение времени t, л - среднее число электронов, испускаемых в единицу времени.
Определить вероятность того, что за время t число испускаемых электронов будет меньше m mN. Решение. л - среднее число электронов, t - время испускания, следовательно, алt. P 6. С накаленного катода за единицу времени вылетает в среднем qt электронов, где t - время, протекшее с начала опыта.
Найти вероятность того, что за промежуток времени длительности ф, начинающийся в момент t0, с катода вылетит ровно m электронов. Решение. Находим среднее число электронов а, вылетающих с катода за данный отрезок времени По вычисленному а определяем искомую вероятность 8.