ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине Прикладная математика Вариант Б Курс 11 Руководитель Онищенко А. М. Оценка 5 Москва 2001 ОГЛАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 3 ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 7 ЗАДАЧА О РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА 8 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 9 ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ 10 ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ И ЗАПАСАМИ 12 МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ 15 МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ И СОТРУДНИЧЕСТВА 16 АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ 17 ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ 18 ЛИТЕРАТУРА 20 ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов.
Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли 1 Требуется составить производственную программу x1, x2, x3, x4, максимизирующую прибыль 2 при ограничениях по ресурсам 3 где по смыслу задачи 4 Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств 3 при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений 5 где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов. Среди всех решений системы уравнений 5, удовлетворяющих условию неотрицательности х10, х20, ,х50 х70. 6 надо найти то решение, при котором функция 2 примет наибольшее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы 5 неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид дополнительные переменные являются базисными.
Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение x10, x20, x30, x40, x5103, x6148, x7158 7 первые четыре компоненты которого определяют производственную программу x10, x20, x30, x408 по которой мы пока ничего не производим.
Из выражения 2 видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию первого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль.
Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы уравнений 5 общее решение 9 Мы пока сохраняем в общем решении х2х3х40 и увеличиваем только х1. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств или т.е. 0 х37 Дадим х1 наибольшее значение х1 37, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в 9. Получаем для системы уравнений 5 частное неотрицательное решение х137, х20, х30, х40 x529 x60 x10 Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений 5, для получения которого достаточно было принять в системе 5 неизвестную х1 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, так как, а разрешающим элементом будет а214. Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1. И 0БазисН x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7Пояснения0Х5103 2 3 4 1 1 0 0z0 H0Х6148 4 2 0 2 0 1 Х7 158 2 8 7 0 0 0 1 z0 -z0 - z -36 -32 -10 -13 0 0 Х529 0 2 4 0 1 -12 0 0Х137 1 12 0 12 0 036Х784 0 7 7 -1 0 -12 1min 292 641212z0 -z1332-z 0 -14 -10 5 0 9 0 min -14-10 -1436Х55 0 0 2 27 1 -514 -270Х131 1 0 -12 47 0 27 -11414Х212 0 1 1 -17 0 -114 17z0 -z1500-z 0 0 4 3 0 8 2все j 0Применим известные формулы исключения aijaij aisarsarj aiqaiq aisarsarq bibi - aisarsbr brbrars s1, r2 a123-24 2 2 a134 a141-24 20 a151 a160-241 -24 a170 a328-24 2 7 a337 a340-24 2 -1 a35 0 a360-24 1 -24 a371 a21a21a211 a22a22a2112 a230 a2412 a250 a2614 a270 a41 0 a42 -14 a43 -10 a445 a450 a469 a470 a11a310 b1103-1484229 b2148437 b3158-1484284 Получаем для системы уравнений 5 новый предпочитаемый эквивалент 2x2 4x3 x5 - 12x6 29 x1 12x2 12x4 14x6 37 11 7x2 7x3 - x4 -12x6 x7 84 Приравняв к нулю свободные переменные х2, х3, х4, х6, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с 10, причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу х137, х20, х30, х12 Представим соотношение 2 в виде уравнения -36х1 - 14х2 - 10х3 - 13х4 0 z 13 и припишем его к системе 5. Получается вспомогательная система уравнений 14 Напомним, что разрешающую неизвестную в системе 5 мы выбрали х1. Этой переменной в последнем уравнении системы 14 отвечает наименьший отрицательный коэффициент 1 -36. Затем мы нашли разрешающий элемент а214 и исключили неизвестную х1 из всех уравнений системы 5, кроме второго.
Далее нам пришлось х1 исключать и из функции 2. Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений 14. Очевидно, достаточно умножить второе уравнение системы 14 на 9 и прибавить к четвертому получим -14х2 - 10х3 5х4 - 9х6 1332 z 15 Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений 14 к виду 16 Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент 11 системы уравнений 5 и определяют базисное неотрицательное решение 10 и производственную программу 12, а из последнего уравнения системы 16 получается выражение функции цели через свободные переменные.
Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы 5 новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию z133214x210x3-5x4-9x6 через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х2, ставшую базисной.
Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент j при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы 16, то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. Мы нашли в последнем уравнении системы 16 наименьший отрицательный коэффициент minj 0 min-14 10 -14 2. Поэтому принимаем х2 в системе 11 за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по 17 и исключаем х2 из всех уравнений системы 11, кроме третьего уравнения.
Укажем разрешающий элемент а327. Теперь мы будем преобразовывать вспомогательную систему 16, по формулам исключения. aijaij aisarsarj aiqaiq aisarsarq bibi - aisarsbr brbrars s1, r2 a110 a134-2772 a14027 127 a151 a16 -514 a170-271-27 a211 a23 -12 a2447 a250 a2627 a27 -114 a31 a31a320 a321 a33 a33a321 a34 -17 a35 0 a36-114 a3717 a41 0 a42 -14270 a43 4 a443 a450 a468 a472 a12a220 b129-84725 b237-8471231 b384712 Эта система преобразуется к виду 2 x3 27 x4 x5 514 x6 27 x7 5 x1 - x3 x4 27 x6 114 x7 31 18 x2 x3 - 17 x4 114 x6 17 x7 12 4 x3 3 x4 8 x6 2 x7 1500 - z Первые три уравнения системы 18 представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений 5 и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи x137, x20, x30, x40, x529, x60, x784 19 т.е. определяют производственную программу x137, x20, x30, x40 20 и остатки ресурсов первого вида х55 второго вида х60 21 третьего вида х70 Последнее уравнение системы 18 мы получаем, исключая х2. В последнем уравнении системы 18 среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного.
Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные z 1500 - 4 x3 - 3 x4 - 8 x6 - 2x7 22 то становится совершенно очевидным в силу того, что все xj0, что прибыль будет наибольшей тогда, когда x30, x40, x60, x70 23 Это означает, что производственная программа 20 является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль zmax 1500 24 Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.
Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы.
Например, коэффициент 34 при переменной х3 показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида она не входит в оптимальную производственную программу, то прибыль уменьшится на 4 единиц.
Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе x30, x40. Предположим, что четвертую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала.
Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию.
Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение производственной программы x10, x20 x137, x20 x131, x212 на графике означает движение от одной вершины многогранника допустимых решений к другой вершине по связывающей их стороне многоугольника.
столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производс... Величины у1, у2, у3 принято называть расчетными, или двойственными, оц... Поэтому 2y1 4y2 2y3 - 36 0 3y1 2y2 8y3 - 32 0 Если же учесть, что перв... Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная ... Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов...
Пусть Tt1,t2,t3- вектор дополнительных объемов ресурсов. 2. Программа расшивки имеет вид t10, t214, t30 и прирост прибыли составит... В данном случае получаем 11 0, p1 q1 - c11 0, 0q1 -2 0, q1 2 12 0, p1 ... Находим наибольшую положительную оценку max 5 Для найденной свободной ...
Пусть производственное объединение состоит из четырех предприятий n4. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит ... 2. руб причем четвертому предприятию должно быть выделено х4 700 100 тыс. Из табл.
0 y3 3 а аргумент у2 связан с х2 и у3 балансовым уравнением x2 y2 - d2... Тогда, согласно 1, 0 x2 4, т.е. x2 5, y2 5-4 0, 2 5,3 52 25 2 33 F10 46 2 48. 2. Таблица 2 у30123F2 y3 y3232 или 33 Переходим к следующему этапу. Полаг...
h1140 70,1 20,21,1 h2120 40,1 10,20,6 h31200 130,1 160,24,5 h410,200,3... где В коэффициенты прямых затрат. производственная программа 080 0,160 0,27020 0,480 060 0,17039 0,280 0... МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ.
Седловой точки нет. Это вектор-столбец, который мы записываем для удобства в виде строки. ... Возьмем на плоскости систему координат, по горизонтальной оси вправо о... Таким образом, оптимальная стратегия первого есть Р711, 411, а цена иг... Учтем, например, что р1х 0 и воспользуемся утверждением о том, что есл...
Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток или не очень больш... Найдите средние ожидаемые доходы и риски ri операций. Нанесите точки, ... Q12461812141818 Q20461214141316Q325814 1316 Q4012813131616Q1 qipi 2124... Точка Q, r доминирует точку Q, r если Q Q и r r.
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ. Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля mp. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от mp. Зададимся эффективностью портфеля mp. когда mр 6 .
ЛИТЕРАТУРА 1. Математические методы принятия решений в экономике.
Учебник под ред. проф. Колемаева В.А. -М. ЗАО Финстатинформ, 1999. 2. Колемаев В.А Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. -М. Инфра-М, 1999. 3. Гатауллин Т.М Карандаев И.С Статкус А.В. Целочисленное программирование в управлении производством.
МИУ, М 1987. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М. Высшая школа, 1998. 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. -М. Высшая школа, 1998. 6. Ермольев Ю.М Ляшко И.И Михалевич В.С Тюптя В.И. Математические методы исследования операций. - Киев Вища школа, 1979. 7. Ершов А.Т Карандаев И.С Шананин Н.А. Планирование производства и линейное программирование.
МИУ, М 1981. 8. Ершов А.Т Карандаев И.С Статкус А.В. Матричные игры и графы. МИУ, М 1986. 9. Ершов А.Т Карандаев И.С Юнисов Х.Х. Исследование операций. МИУ, М 1990. 10. Калинина В.Н Панкин В.Ф. Математическая статистика. -М. Высшая школа, 1998. 11. Карандаев И.С. Двойственные оценки в управлении.
МИУ, М 1980. 12. Карандаев И.С. Решение двойственных задач в оптимальном планировании. -М. Статистика, 1976. 13. Карандаев И.С. Начала линейного, нелинейного и динамического программирования. -М. Знание, 1968. 14. Карандаев И.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. МИУ, М 1973. 15. Карандаев И.С Гатауллин Т.М. Математический аппарат линейных оптимизационных задач в управлении производством.
МИУ, М 1986. 16. Карандаев И.С. и др. Математические методы исследования операций в примерах и задачах. ГАУ, М 1993. 17. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М. Инфра-М, 1998. 18. Малыхин В.И. Математика в экономике. - М Инфра-М, 1999. 19. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. -М УРАО, 1998. 20. Малыхин В.И. Финансовая математика. -М Юнити, 1999. 21. Малыхин В.И Статкус А.В. Теория принятия решений.
МИУ, М 1989. 22. Нейман Д Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. -М. Наука, 1970. 23. Первозванский А.А Первозванская Т.Н. Финансовый рынок расчеты и риск. -М. Инфра -М 1994. 24. Сакович В.А. Исследование операций. -Минск Высшая школа, 1985. 25. Солодовников А.С Бабайцев В.А Браилов А.В. Математика в экономике. М. Финансы и статистика, 1998. 26. Таха Х. Введение в исследование операций. М. Мир, 1985.