Математическая часть. Для приближнного вычисления интеграла функции fx используются методы приближнного интегрирования, наиболее употребительные из них основаны на замене интеграла конечной суммой. Для вычисления промежуток от ax0 до bxn разбивается на n равных частей, и для точек деления x0 , x1 , x2 , x3 xn-1 , xn вычисляются значения интегрируемой функции y. Затем необходимо воспользоваться формулой приближнного интегрирования 1 Формула трапеций рис.1 .1 Рис.2 Формула Cимпсона парабол рис.2 2 Рис.2. В моей курсовой работе рассматривается приближенное вычисление интеграла 1 При его аппроксимации заменим функцию fx параболой, проходящей через точки т.е представим приближенно fx в виде где - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени 2 Проводя интегрирование получим Таким образом приходим к приближенному равенству 3 Котрое называется формулой Симпсона или формулой парабол.
На всем отрезке a, b формула Симпсона имеет вид Чтобы не использовать дробных индексов можно обозначить xia0,5hi, fifxi, i1,2 2N, hNb-a и записать формулу Симпсона в виде 4 Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы 3 заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство если fxa0a1xa2x2a3x3. Это утверждение нетрудно проверить непосредственно.
Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмита.
Построим многочлен третьей степени H3x такой, что. Такой многочлен существует и единствен. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена H3x. Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим 5 Представим теперь fx в виде fxH3xrix, xxi-1,xi, 6 где rix погрешность интерполирования многочленом Эрмита H3x. Интегрируя 6 и учитывая 5, получим 7 Далее имеем поэтому из 7 для погрешности формулы 3 получаем оценку где Вычисляя интеграл приходим к окончательной оценке 8 Погрешность составной формулы Симпсона оценивается так 9 Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность Оh5, а на всем отрезке Oh3.