График показательной функции. y ex, а пунктиром - график другой показательной функции, тесно связанной спредыдущей. Есливоспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функциюможно представить в виде y e-x. Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает рисунок.
Образуемтеперь две новые функции, беря для каждого x либо полусумму значенийнаших показательных функций получим y 1 2 y ex e-x, либо ихполуразность y 1 2 y ex-e-x. Графики этих новых функций приведены на рис. 3 и рис. 4. Оказывается, чтопервый из них это и есть одна из цепных линий. Из него путем простыхпреобразований, о которых пойдет речь ниже, можно получить любую цепную линию, симметричную относительно оси ординат.
Что касается графика, представленного нарис. 4, то он будет нами использован как вспомогательное средство при переходеот цепной линии рис. 3 к более общему случаю цепной линии. Подбордлины цепочки. Рассмотримподробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки.
Представим себе, что этакривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что намразрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забь м их, как советовалГалилей, в точках A и B на однойгоризонтали впрочем, это условие несущественно. Подбер м теперь тонкуюцепочку, длина которой точно равна 2l длине дуги AB и концы е закрепим в A и B. Тогда цепочкапровиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили.
Никаких зазоров междуней и этой кривой не будет наблюдаться. Подборцепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее сзапасом, а потом подвешивать е за разные звенья в точках A и B,по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части, пока непроизойд т совпадения рис. 5 . Но можно поступить и иначе зная d половинурасстояния между гвоздями, найти пут м вычисления l половину длины дуги AB и тогда ужебрать цепочку, длина которой точно равна 2l. Такой подсч туда тся с помощью интеграла.
Укажем здесь результат l 1 2 ed-e-d. Отсюдаследует, что если взять на графике функции y 1 2 ex-e-x рис. 4 x d, то соответствующая ордината у точки Eэтого графика будет равна l. Таккак l 1 2 ed-e-d lt r 1 2 ed-e-d см. рис. 5 , то получаетсялюбопытное