Вычисление времени Т. установления режима 4.1 Решение уравнения комбинированным методом Время установления режима определяется по формулам 1.6 и 1.7. Проведм сначала отделение корней.
Имеем y ctgx и y Ax. Приведм уравнение к виду A x sinx-cosx 0. Проведм процесс отделения корня.
Fx-1-0.62850.4843x0.010.050.1т.е. x с 0.010.05 Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции. fa fb 0 условие существования корня выполняется f x на ab знакопостоянна f x 0 условие единственности также выполняется.
Проведм уточнение с погрешностью не превышающей e10-4 Строим касательные с того конца, где fx fx 0 fx2A1cosx A x sinx. fx 0 на ab, следовательно касательные строим справа, а хорды слева.
Приближение корня по методу касательных по методу хорд Вычисление ведм до того момента, пока не выполнится условие Результаты вычислений заносим в таблицу nanbnfanfbn00.050.1-0.62850.484310.07824 0.08366-0.09080.039420.082020.08207-9.15 15 10-43.7121 10-430.082060.08206-8.4666 10-83.4321 10-8 Т0 72,7176 секунд. 4.2 Решение уравнения комбинированным методом Приведм fx 0 к виду x jx. Для этого умножим обе части на произвольное число m, неравное нулю, и добавим к обеим частям х X x - m fx jx x - m A x sinx m cosx В качестве m возьмм где М max f x на ab, а m min f x на a b В силу монотонности f x на ab имеем m f а, М f b. Тогда m 0,045. Приближение к корню ищем по следующей схеме Вычисление ведм до тех пор, пока не выполнится условие q max j x на a b j x на a b монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов. j 0,05 0,3322 j 0,1 -0,3322, следовательно, q 0.3322 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность ixij xiD xi00.0750.0823920.0073910.0823920.082025 0.00036720.0820250.082063.54 10-530.082060.0820573.33 10-640.0820570.0820573.15 10-7 Итак, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем Т0 72,7176 с x 0.03142 5. Решение краевой задачи Используем метод малого параметра.
Краевую задачу запишем в виде 5.1 Введя новую переменную y U - q0q - q0, запишем 5.1 в виде 5.2 e slq - q0 0.18, L2 0.0193. В качестве малого параметра возьмм e. Тогда, подставив yx в уравнение 5.2 и перегруппировав члены при одинаковых степенях e, получим 5.3 Ограничимся двумя первыми членами ряда Из 5.2 и 5.3 находим общее решение уравнения для y0 где y0 с тильдой частное решение данного неоднородного уравнения y1 и y2 линейно независимые решения однородного уравнения.
Корни уравнения y0общ 1 c1chpxc2shpx, где p 0.01953 Константы найдм из граничных условий откуда с1 0, с2 -0,57 т.е. имеем функцию y0 1 - 0.57 shpx Общее решение Частное решение Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим А1 0 А2 -0,1083 В1 0 В2 17,1569 Тогда общее решение для y1 имеет вид с3 0 с4 0,0462 Перейдя к старой переменной U, получим q0 0 q1 -374.11 q2 -12.9863 q3 2057 Итоговое уравнение Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции Ux xUxU0352.90753530.0019350.49010.0039343. 19723430.0058330.90530.0077313.40423130. 0097290.3910.0116261.45982610.0135226.08 930.015418362551840.0174133.25790.019374 74 Используя данную таблицу, строим график функции Ux. см. приложение 1 6.