Предварительные сведения. Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в математике и физике, следует выделить линейное уравнение второго порядка, имеющее вид u gtu ftuht 1.1 или р t и q f и ht. 1.2 Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции t, g f, h f и р f 0, q t, входящие в эти уравнения, являются непрерывными вещественными или комплексными на некотором t-интервале J, который может быть как ограниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предполагается, что рt 0, скоро станет ясной.
Из двух выражений 1.1 и 1.2 последнее является более общим, поскольку уравнение 1.1 может быть записано в виде pt и рt ftu р t h t, 1.3 если определить pt следующим образом 1.4 при некотором aJ. Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция рt непрерывно дифференцируема, уравнение 1.2 можно записать в виде, а это уравнение имеет вид 1.1. В случае, если функция р t непрерывна, но не имеет непрерывной производной, уравнение 1.2 не может быть записано в виде 1. Тогда уравнение 1.2 можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора 1.5 Другими словами, решение и и t уравнения 1.2 должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция рt ut имеет непрерывную производную, удовлетворяющую 1.2. Если рt 0 и qt, ht непрерывны, к системе 1.5, а потому и к уравнению 1.2 применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем Мы можем рассматривать также более общие т. е. менее гладкие типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1pt, q t, h t локально интегрируемы.
Частному случаю уравнения 1.2 при соответствует уравнение и qt u ht. 1.6 Если функция принимает вещественные значения, уравнение 1.2 может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных, т.е. 1.7 при некотором a J. Функция s s t имеет производную и потому строго монотонна.
Следовательно, функция s s t имеет обратную t t s, определенную на некотором s-интервале.
После введения новой независимой переменной s уравнение 1.2 переходит в уравнение 1.8 где аргумент t выражений pfqt и pt hfдолжен быть заменен функцией t ts. Уравнение 1.8 является уравнением типа 6. Если функция g t имеет непрерывную производную, то уравнение 1.1 может быть приведено к виду 1.6 с помощью замены неизвестной функции и на z 1.9 при некотором a J. В самом деле, подстановка 1.9 в 1.1 приводит к уравнению 1.10 которое имеет вид 6. В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид 1.2 или 6. Утверждения, содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем. 2.