Уравнения гиперболического типа. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний.
Простейшее уравнение гиперболического типа называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д. 1. Уравнение колебаний струны. В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю.
Пусть струна длины в начальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до. Предположим, что концы струны закреплены в точках. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения говорят, что струна начнет колебаться.
Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией, которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t. Рис. 1.1. Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости, то будем предполагать, что длина элемента струны равняется ее проекции на ось Ox, т.е. .11 Это предположение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем величиной по сравнению с 1. Действительно Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое обозначим его через Т. Рассмотрим элемент струны. Рис. 1.2. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент, будет равна. Так как угол мал, то можно положить, и мы будем иметь здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках.
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции.
Пусть - линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет. Ускорение элемента равно. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь. Сокращая на и обозначая, получаем уравнение движения . 1 Это и есть волновое уравнение уравнение колебаний струны.
Для полного определения движения струны одного уравнения 1 недостаточно. Искомая функция должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны, и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент t 0. Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства 2 2 Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент t 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f x. Таким образом, должно быть 3 Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией. Таким образом, должно быть 3 Условия 3 и 3 являются начальными условиями.
Замечание. В частности, может быть или. Если же и, то струна будет находится в покое, следовательно 1.1.2.