Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Министерство общего и профессионального образования Сочинский государственный университет туризма и курортного дела Педагогический институт Математический факультет Кафедра общей математики ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов.Выполнила студентка 5-го курса дневной формы обучения Специальность 010100 Математика Прокофьевой Я. К. Студенческий билет 95035 Научный руководитель доцент, канд. техн. наук Позин П.А. Сочи, 2000 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 Глава 1. Уравнения гиперболического типа. 1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа 1. Уравнение колебаний струны 2. Уравнение электрических колебаний в проводах.8 1.2. Метод разделения переменных 1. Уравнение свободных колебаний струны.10 Глава 2. Уравнения параболического типа. 1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа 1. Уравнение распространения тепла в стержне 2. Распространение тепла в пространстве.2. Температурные волны 23 Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. 1. Дифракция излучения на сферической частице29 Заключение.40 Литература 41 ВВЕДЕНИЕ Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом Интегральном исчислении Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными.

Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V два решения, то функция U V при любых постоянных и снова является решением.

Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование. Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов. Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк.

В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Глава 1.

Уравнения гиперболического типа

Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предост... Пусть касательные образуют с осью Ox углы. Тогда масса элемента струны будет. В начальный момент t 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей ... Таким образом, должно быть 3 Далее, в начальный момент должна быть зад...

Уравнение электрических колебаний в проводах

Электрический ток в проводе характеризуется величиной i x, t и напряже... . Рассматривая элемент провода, можем написать, что падение напряжения н... Итак, 4 где R и L сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитан... Уравнение электрических колебаний в проводах.

Уравнение свободных колебаний струны

2. Потребуем, чтобы функция 24 удовлетворяла условиям 10 25 Из теории ряд... Пусть u x, t температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу ...

Распространение тепла в пространстве

Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площад... Если искомая функция u x, y, z, t не зависит от z, что соответствует т... 2.2. е. Если температура поверхности длительное время периодически меняется, т...

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных

Для составляющих полей получим при этом следующие выражения 14 Функции... Поэтому только они могут быть использованы для решения внутри шара. Из 14 видно, что для этого необходимо, чтобы на поверхности шара были ... Поэтому можно записать 27 28 Коэффициенты должны быть определены из ус... Полное ослабление потока в результате прохождения им частицы будет скл...

Литература

Литература . 1. Н. С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления, М Наука, 1972, том. 2. 2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер Курс математического анализа, М Просвещение, 1976. 3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Уравнения математической физики, М Наука, 1972. 4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, М Наука, 1988.