Курс лекций по дисциплине Матричный анализ для студентов II курса математического факультета специальности Экономическая кибернетика лектор Дмитрук Мария Александровна Глава 3. Функции от матриц. 1. Определение функции. Df. Пусть функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под fA, т.е. нужно распространить функцию fx на матричное значение аргумента. Решение этой задачи известно, когда fx многочлен , тогда . Определение fA в общем случае.Пусть mx минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение собственные значения А. Пусть многочлены gx и hx принимают одинаковые значения.
Пусть gAhA 1, тогда многочлен dxgx-hx аннулирующий многочлен для А, так как dA0, следовательно, dx делится на линейный многочлен, т.е. dxmxqx 2. Тогда, т.е. 3 Условимся m чисел для fx таких называть значениями функции fx на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать. Если множество fSp A определено для fx, то функция определена на спектре матрицы А. Из 3 следует, что многочлены hx и gx имеют одинаковые значения на спектре матрицы А. Наши рассуждения обратимы, т.е. из 1. Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена fx вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены gix, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения giA. Потребуем, чтобы определение значения fA в общем случае подчинялось такому же принципу.
Значения функции fx на спектре матрицы А должны полносильно определить fA, т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение fA. Очевидно, что для определения fA в общем случае, достаточно найти многочлен gx, который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция fAgA. Df. Если fx определена на спектре матрицы А, то fAgA, где gA многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и fA, Df. Значением
Свойство 4. Теорема 1. Пусть матрицы. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А приводима, ... Учитывая, что, то, тогда получаем, что, что противоречит неприводимост...