Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными

Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными. П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными 12 Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т. е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты, и гипотенуза выражаются целыми числами.

Обозначим через общий наибольший делитель чисел и. Тогда и уравнение 12 примет вид. Отсюда следует, что делится на и, значит, кратно. Теперь уравнение 12 можно записать в виде сокращая на, получим. Мы пришли к уравнению того же вида, что и исходное, причем теперь величины и не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения 12 можно ограничиться случаем, когда и взаимно просты.

Итак, пусть. Тогда хотя бы одна из величин и например, будет нечетной.

Перенося в правую часть уравнения 12, получим . 13 Обозначим через общий наибольший делитель выражений и. Тогда 14 где и взаимно просты.

Подставляя в 13 значения и, получим. Так как числа и не имеют общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда и будут полными квадратами Но тогда и 15 Найдем теперь и из равенств 14. Сложение этих равенств дает . 16 Вычитая второе из равенств 14 из первого, получим 17 В силу нечетности из 15 получаем, что, и также нечетны.

Более того так как иначе из равенств и следовало бы, что величины и имеют общий делитель, что противоречит предположению об их взаимной простоте.

Числа и связаны с взаимно простыми числами и равенствами, и в силу этого сами взаимно просты, так как, что ясно из равенств 14. Подставляя в равенства 15 - 17 , получим формулы 18 дающие при нечетных взаимно простых и все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел удовлетворяющие уравнению 12. Простой подстановкой, и в уравнение 12 легко проверить, что при любых и числа 18 удовлетворяют этому уравнению.

Для начальных значений и формулы 18 приводят к следующим часто встречающимся равенствам Как уже было сказано, формулы 18 дают только те решения уравнения, в которых числа, и не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах 18, на произвольный общий множитель. Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения 12, могут быть получены и все решения других уравнений того же типа. П р и м е р II. Найдем все решения уравнения 19 в целых положительных попарно взаимно простых числах Заметим, что если есть решение уравнения 19 и не имеют общего делителя, отличного от 1, то они и попарно взаимно просты.

Действительно, если и кратны простому числу, то из равенства следует, так как его левая часть - целое число, что кратно. То же самое будет, если и или и делятся на. Заметим, что должно быть числом нечетным для того, чтобы общий наибольший делитель был равен 1. Действительно, если четно, то левая часть уравнения 19 будет четным числом и, значит, z также будет четным.

Но и будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что должно делиться на 4, другими словами, что тоже должно быть четным числом. Значит, если четно, то все числа должны быть четными. Итак, в решении без общего отличного от 1 делителя должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и должно быть тоже нечетным.

Перенося в правую часть, мы получаем. Но и имеют общим наибольшим делителем 2. Действительно, пусть их общий наибольший делитель будет. Тогда где и - целые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь Но и нечетны и взаимно просты. Поэтому общий наибольший делитель и будет 2. Отсюда следует, что. Итак, или, или нечетно. Поэтому или числа и взаимно просты, или взаимно просты числа и. В первом случае из равенства следует, что а во втором случае из равенства следует где и целые нечетное число и Решая эти две системы уравнений относительно и и находя, мы получаем или или где нечетно. Объединяя эти две формы представления решения мы получаем общую формулу где нечетно.

Но для того чтобы и были целыми числами, необходимо, чтобы было четным. Полагая и, мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения 19 в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах 19 где и положительны, взаимно просты и нечетно. При этих условиях величины и выбираются произвольно, но так, чтобы было положительно. Формулы 19 действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах так как, с одной стороны, мы доказали, что в этом случае должны представляться по формулам 19, а с другой стороны, если мы зададим числа и, удовлетворяющие нашим условиям, то будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения 19. 4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном и иррациональном уравнение 20 всегда имеет нетривиальное решение, другими словами существует пара целых чисел и, которая ему удовлетворяет.

Прежде всего, укажем прием, позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число.

Пусть - любое положительное число. Тогда всегда существует целое число, которое будет меньше или равно и больше. Такое целое число носит название целой части и обозначается. Разность между и его целой частью называется дробной частью числа и обозначается. Из определений целой части и дробной части числа непосредственно следует соотношение между ними, именно или . 21 Так как дробная часть числа есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом, его не превосходящим, то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна.

Например, целая часть есть 5, а дробная его часть есть, целая часть есть 1, а дробная часть равна целая часть равна 3, а дробная часть равна, и т. д. Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь.

Положим Тогда. Так как всегда меньше единицы, то всегда больше единицы. Если бы было само целым числом, то его дробная часть равнялась бы нулю, было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство. Отвлекаясь от этого частного случая, который исключается тем, что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число, мы можем утверждать, что - положительное число, большее единицы.

С этим числом мы поступаем так же, как и с, и пишем равенство Продолжая этот процесс, мы получаем ряд равенств 24 Этот процесс последовательного образования целых чисел в случае, когда рациональное число другими словами, когда, где и - целые положительные числа как нетрудно заметить, ничем не отличается по своим результатам от получения неполных частных с помощью алгоритма Евклида см. формулу 6. Он должен поэтому оборваться при рациональном. При иррациональном этот процесс должен быть бесконечным.

Действительно, если бы при каком-нибудь было целым числом, то- отсюда следовало бы, что было бы рациональным, что в свою очередь влекло бы за собой рациональность и т. д. и, наконец, рациональность. Из формул 23, делая последовательные замены, исключая мы получим цепную дробь 24 которую, так как можно взять сколь угодно большим, можно записывать и в форме бесконечной цепной дроби Т е о р е м а III. При любом целом положительном и иррациональном уравнение 20 имеет нетривиальное решение Рассмотрим уравнение общего вида, 25 где - целое целое число иррациональное число.

При это уравнение всегда имеет бесчисленное множество решений в целых числах и. При произвольных и такое уравнение может вообще не иметь решений. П р и м е р. Покажем, что уравнение 26 вообще не разрешимо в целых числах и. Заметим, прежде всего, что квадрат нечетного числа при Делений на 8 всегда дает в остатке 1. Действительно, так как всякое нечетное число а может быть записано в форме, где - целое число, то , 27 где - целое число в силу того, что или, или должно быть четным числом.

Далее, если - решение уравнения 27 то и не могут быть числами одинаковой четности. Если бы и были одновременно четными или нечетными, то было бы четным числом и не могло быть равно 1. Если же нечетно, а четно, то при делении на давало бы в остатке 1, делилось бы на 4 и при делении на 4 давало бы в остатке 1. Это невозможно, так как при делении на 4 правая часть тривиально дает в остатке или. Наконец, если четно, а нечетно, то делится на 4, на основании 26 может быть записано в форме и, значит, при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому при делении на 4 должно опять давать в остатке 1, что, как мы уже видели, невозможно.

Поэтому не существует целых чисел и, которые могли бы удовлетворять уравнению 26. Не останавливаясь на вопросе, при каких условиях, наложенных на и, уравнение 25 будет иметь решение вопросе трудном и разрешимом с помощью общей теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел мы остановимся на случае, когда уравнение 25 имеет нетривиальные решения.

По-прежнему нетривиальным решением мы будем называть решение, если. Итак, пусть уравнение 25 имеет нетривиальное решение другими словами, пусть 28 Рассмотрим при том же уравнение 29 Это уравнение имеет бесчисленное множество решений в целых числах при и иррациональном, и любое такое его решение будет Так как решение уравнения 29 . Равенство 28 в свою очередь может быть переписано в форме. Перемножая почленно эти два последних равенства, мы получаем 30 Но и совершенно так же. Воспользовавшись этими двумя равенствами, мы можем переписать равенство 30 в форме или в форме. Этим мы доказали, что если - решение уравнения 25, то этому уравнению будет удовлетворять и пара чисел 31 где - любое решение уравнения 29. Таким образом, мы доказали, что если уравнение 25 имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесчисленное множество.

Нельзя, конечно, утверждать, что формулами 31 даются все решения уравнения 25. В теории алгебраических чисел доказывается, что все решения уравнения 25 в целых числах можно получить, взяв некоторое конечное и определенное зависящее от и число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул 31. Уравнение 25 при А отрицательном или равном квадрату целого числа может иметь не более конечного числа решений.

Решение самых общих уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах, уравнений вида 32 где числа А, В, С, D, Е и F - целые, сводится с помощью замен переменных к решению уравнений вида 25 с положительным или отрицательным А. Поэтому характер поведения решений, если они существуют, такой же, как и у уравнения типа 25. Подводя итог всему изложенному, мы можем теперь сказать, что уравнение второй степени с двумя неизвестными типа 32 может не иметь решений в целых числах, может иметь их только в конечном числе и, наконец, может иметь бесконечное множество таких решений, причем эти решения берутся тогда из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий, даваемых формулами 31. ПРОГРАММА 1 УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ n степень многочлена a коэффициент при x c свободный член уравнения d делитель свободного члена w вспомогательная переменная для возведения d в степень аргумента x сумма возведенных d в степень аргумента умноженных на a program matan1 uses crt var i, n,c, j,k, x,w, q,pinteger a, darray1 100 of integer BEGIN writeln введите степень многочлена readln n for i1 to n1 do begin if in1 then begin writeln введите свободный коэффициент read cend if i n1 then begin Writeln введите коэффициент при x, n-i1 readln ai endend w1 for j1 to c do begin if cj c div j then begin dj-j kn for i1 to n do begin for q1 to k do wwdj xxwai kk-1w1end if xc0 then begin pp1 writelnцелый корень уравнения, djend end x0end for j1 to c do begin if cj c div j then begin djj kn for i1 to n do begin for q1 to k do wwdj xxwai kk-1w1end if xc0 then begin pp1 writelnцелый корень уравнения, djend end x0end if p0 then writeln данное уравнение в целых числах неразрешимо readlnreadln END. ПРОГРАММА 2 Уравнения первой степени с двумя неизвестными program matan2 var p, q,t, n,i, k,x, y,w, r,s, dinteger a, b,carray1 1000of integer BEGIN writelnвв. при х readlnp writelnвв. при y readlnq writelnвв. c readlnt if p 0 then x-p else xp if q 0 then y-q else yq n0n0k1 for i1 to 10 do begin if k 0 then begin nn1 for in to n do begin aix biy cix div y xx-ciy kk1n0rr1 if x y and x 1 then begin wy yx xwend else k0 end endend xpyq for i1 to r do begin aix biy cix div y xx-ciyai1bi1 if x y and x 1 then begin wy yx xwend end for ir downto 1 do begin br0 bicibiai if i 1 then bi-1bi if i 2 then ai-2bi-1 end if pb1qa1t0 then begin writelnкорни уравнения x, b1,y, a1 writeln все его решения будут содержаться в прогрессиях writelnx, b1 q t writelny, a1 p tend readln END.