Алгебра греков.
Считается, что эллины заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре - у вавилонян. В древнейших египетских источниках папирусе Райнда и Московском папирусе - находим задачи на аха термин аха означает куча, груда. Имеется в виду некоторое количество, неизвестная величина, подлежащая определению соответствующие современным линейным уравнениям, а также квадратным вида ах2 b. В вавилонских клинописных текстах имеется большое число задач, решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй степеней, которые записаны без символов, но в специфической терминологии. В этих текстах решаются задачи, приводящие к трехчленным квадратным уравнениям вида ах2 - bх с или х2 - рх q. В задачах на аха можно обнаружить зачатки алгебры как науки о решении уравнений.
Но если вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры умели числовым путем решать задачи, связанные с уравнениями первой и второй степеней, то развитие алгебры в трудах Евклида 365 - ок. 300 гг. до н. э Архимеда 287-212 гг. до н. э. и Аполлония ок. 260-170 гг. до н. э. носило совершенно иной характер греки оперировали отрезками, площадями, объемами, а не числами.
Их алгебра строилась на основе геометрии и выросла из проблем геометрии. В XIX в. совокупность приемов древних получила название геометрической алгебры. В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения х2 ax b2. Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, как показано на рисунке. На заданном отрезке АВ равном a строили прямоугольник AM со сторонами а х и x, равновеликий данному квадрату b2 , таким образом, чтобы избыточная над прямоугольником AL равная ах площадь ВМ была квадратом, по площади равным х2. Сторона этого квадрата и давала искомую величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади. Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MG, равный прямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник AM будет разностью квадратов DF и LF. Эта разность и квадрат LF известны, поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DF. После этого находили величину DC равную Ѕa x и DB равную х. Геометрическое построение в точности соответствует преобразованию, с помощью которого в современных обозначениях решается уравнение указанного типа b2 ax х2 - Конечно же, при таких построениях отыскивались только положительные корни уравнений отрицательные числа появились в математике значительно позже.
С помощью геометрии древним удавалось также доказывать многие алгебраические тождества.
Но каковы эти доказательства! Они безупречны в отношении логики и слишком громоздки.
Вот как формулирует Евклид теорему, выражающую тождество а b 2 a2 2аb b2. Если отрезок разделен в точке на два отрезка, то квадрат, построенный на, равен двум квадратам на отрезках, вместе с удвоенным прямоугольником на Естественно, связывая число с геометрическим образом линией, поверхностью, телом, древние оперировали только однородными величинами так, равенство было возможно для величин одинакового измерения.
Такое построение математики позволило античным ученым достигнуть существенных результатов в обосновании теорем и правил алгебры, но в дальнейшем оно стало сковывать развитие науки. Приведенные примеры могут создать ощущение, что математика древних греков примитивна. Но это не так созданная ими математика по своему идейному содержанию глубока и питала идеями и методами математику вплоть до XVII в века научной революции многие идеи древних получили дальнейшее развитие в новой математике, созданной усилиями выдающихся умов XVI-XVII вв. Накопленные в странах Древнего Востока знания состояли из набора разрозненных математических фактов, рецептур для решения некоторых конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и достоверностью.
Создание основ математики в том виде, к которому мы привыкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI-V вв. до н. э. С этого времени начала развиваться дедуктивная математика, построенная на строгих логических доказательствах. 2.1.2