Определения основных логических связок. а Отрицание знак. Если а - высказывание, то а читается не а также высказывание оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно или истинно высказывание а. Таким образом, операция отрицания описывается следующей таблицей a a и л л и Мы видим, что операция в теории высказываний вполне соответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова.
Если, например, а - высказывание Число три делит число шесть, то отрицанием а этого высказывания будет Число три не делит число шесть. Высказывание а при этом истинно, высказывание а ложно.
Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное высказывание, например Число три делит число пять, то его отрицание а будет высказывание Число три не делит число пять - истинное высказывание. б Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будем употреблять знак можно также. Если а и b - высказывания, то а b читается а и b - новое высказывание оно истинно тогда и только тогда, когда а истинно и b истинно.
В отличие от операции отрицания, зависящей от одного элементарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые нами связки, зависит от двух элементарных высказываний, поэтому они называются двуместными связками, отрицание же - связка одноместная. Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами строки соответствуют значениям истинности одного элементарного высказывания, столбцы - значениям другого элементарного высказывания, а в клетке пересечения столбца и строки помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.
Значение истинности сложного высказывания а b задается матрицей b a и л и и л л л л Как видно, определение операции конъюнкции вполне соответствует обыденному значению союза и в Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем употреблять знак. Если а и b - высказывания, то а b читается а или b - новое высказывание, оно ложное, если а и b ложны во всех остальных случаях а b истинно.
Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит так b a и л и и и л и л Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыденному значению союза или. Примеры. Три делит пять или три больше шести ложно Три делит шесть или три больше шести истинно Три делит шесть или три меньше шести истинно. г Импликация. В качестве знака для импликации будем употреблять знак. Если а и b - два высказывания, то а b читается а имплицирует b - новое высказывание оно всегда истинно, кроме того случая, когда а истинно, а b ложно.
Матрица истинности операции импликации следующая b a и л и и л л и и В импликации а b первый член а называется антецедентом, второй b - консеквентом. Операция описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами Если а, то b , Из а следует b, а - достаточное условие для b, но на этой аналогии не следует слишком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации, данное выше, и интерпретируя выражение а b как если а, то b, мы получаем Если дважды два - четыре, то трижды три - девять - истинное высказывание Если дважды два - пять, то трижды три - восемь - истинное высказывание и только высказывание типа Если дважды два - четыре, то трижды три - восемь ложно.
По определению импликации сложное высказывание а всегда истинно, если консеквент истинный или если антецедент ложный, что в очень малой мере отражает обыденное значение выражения Если а, то b или Из а следует b. Ни в какой мере не следует рассматривать высказывание импликации как означающее, что антецедент является причиной, а консеквент - следствием в том смысле, как это понижается в естественных науках.
Несколько позже мы убедимся, что операция импликации достаточно точно выражает понятие логического следования в той форме, как оно употребляется в математике. д Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять знак. Операция эквиваленции определяется так если а и b - два высказывания, то а b читается а эквивалентно b соответствует словесному выражению тогда и только тогда, когда - новое высказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба - ложны.
Из этого определения связки следует, что ее матрица истинности выглядит так b a и л и и л л л и Введенными пятью связками мы ограничимся. С помощью уже введенных связок мы можем строить сложные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний. Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство а b читается a меньше или равно b представляет собой дизъюнкцию а b a b оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входящих в него простых высказываний.
Хорошими примерами сложных высказываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые двойные неравенства. Так, формула а b с означает а b b с, а, например, а b c означает сложное высказывание а b b c b c. Построение сложных высказываний делается аналогично тому, как в элементарной алгебре с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления строятся сколь угодно сложные рациональные выражения.
А именно, предположим, что мы уже построили два каких-нибудь сложных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами А и В при этом мы условимся, что элементарные высказывания следует рассматривать как частный случай сложных. Тогда новые высказывания можно получить, соединив А и В одним из знаков или же построив высказывание А и заключив результат в скобки.
Сложными высказываниями будут, например, высказывания следующего вида а b с а а b с а. При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквы являются сокращенными обозначениями каких-либо высказываний. Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно было бы построить русские фразы, выражающие эти сложные высказывания. Только словесное описание сложных высказываний быстро становится малообозримым, и именно введение целесообразной символики позволяет проводить более глубокое и точное исследование логических связей между различными высказываниями.
Располагая значением истинности простых высказываний, легко подсчитать на основании определения связок значение истинности сложного высказывания. Пусть, например, дано сложное высказывание b с b a и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют следующие значения истинности а л, b и, с и. Тогда b с и, b a л, так что b с b а, т. е. рассматриваемое высказывание ложно. 4.1.2