Алгебра Диофанта.
Новый подъем античной математики относится к III в. н. э он связан с творчеством великого математика Диофанта. Диофант возродил и развил числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки. У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения неизвестной, квадрата, куба, четвертой квадратоквадрат, пятой квадратокуб и шестой степеней ее, а также первых шести отрицательных степеней, т. е. рассматривал, величины, записываемые нами в виде x6, x5, x4, x3, x2, x, x-1, x-2, x-3, x-4, x-5, x-6. Диофант применял знак равенства символ и знак для обозначения вычитания.
Диофант сформулировал правила алгебраических опeраций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями для m n 6 , и правила знаков при умножении.
Это дало возможность компактно записывать многочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными заиками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения. Арифметика посвящена проблеме решения неопределенных уравнений. И хотя Диофант считает число собранием а это означает, что рассматриваются только натуральные числа, при решении неопределенных уравнений он не ограничивается натуральными числами, а отыскивает и положительные рациональные решения.
Неопределенными уравнениями до Диофанта занимались математики школы Пифагора в связи с пифагоровой теоремой. Они искали тройки целых положительных чисел, удовлетворяющих уравнению x2 y2 z2. Диофант поставил задачу установить разрешимость в рациональных числах и в случае разрешимости найти рациональные решения уравнения F х, у 0, где левая часть - многочлен с целыми или рациональными коэффициентами.
Он исследовал неопределенные уравнения второй, третьей и четвертой степеней и системы неопределенных уравнений. Во второй книге Арифметики он так исследует, например, уравнение второго порядка F х, у 0. Это уравнение задает коническое сечение. Всякому рациональному решению уравнения соответствует точка кривой с рациональными координатами. Пусть a, b - такие координаты, т. е. F a, b 0. Диофант делает подстановку у b k х - а, или y b kt, х а t. Тогда F а t, b kt F a, b tA а, b ktB а, b t2C a, b, k 0. Но F a, b 0, поэтому t Это означает, что каждому рациональному значению параметра k соответствует рациональное же значение t, а значит, рациональная точка кривой. Очевиден геометрический смысл решения через рациональную точку кривой a, b проводится прямая y - b k x - a и находятся вторая точка ее пересечения с кривой.
Методы Диофанта впоследствии применяли и развивали арабские ученые, Виет 1540-1603 , Ферма, Эйлер 1707-1783 , Якоби 1804-1851 , Пуанкаре 1854-1912 . Оценивая творчество Диофанта, Цейтен отмечает существенную деталь Наконец, мы желаем здесь вкратце указать на важную роль, сыгранную впоследствии сочинениями Диофанта.
Благодаря тому, что определенные уравнения первой и второй степени были облечены у него в численную оболочку они оказались гораздо более доступными для людей, не посвященных еще в культуру греческой математики более доступными, чем те абстрактные геометрические формы, которые принимают у Евклида уравнения второй степени и которые мы встречаем в сохранившихся до нас трудах других геометров для выражения уравнений первых двух степеней.
Поэтому Диофант и явился главным посредником в процессе усвоения греческой алгебры арабами, благодаря которым, в свою очередь она проникла в Европу в эпоху возрождения наук . 2.1.3