Развитие алгебры в Европе.
Каково же было состояние математики в это время в Европе. Об этом наука располагает крайне скудными сведениями. В XII - XIII вв. в Европе интенсивно переводились в арабского языка как труды самих арабов, так и работы древних греков, переведенные на арабский язык. Первым европейским математиком, которому удалось осветить многие вопросы и внести в математику свой вклад, был Леонардо Пизанский Фибоначчи, 1180-1240 , написавший Книгу абака. В ней рассмотрены различные задачи, указаны методы их решения, причем арифметика и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены с небывалой до этого времени точностью и полнотой.
Существо задачи Леонардо излагает словесно неизвестную он называет res вещь или radix корень квадрат неизвестной - census имущество или quadratus квадрат данное число - numerus. Все это латинские пероводы соответствующих латинских слов. Современник Леонардо, Иордан Неморарий XIII в, употреблял буквенные обозначения более систематично и решал задачи с применением линейных и квадратных уравнений, сначала в общем виде, а затем иллюстрировал их числовыми примерами.
Французский епископ Николь Орем 1323-1382 рассматривал дробно - рациональные отношения, соответствующе современным степеням aЅ, aј, a3 2 и т.д сформулировал правила операций с этими отношениями типа Орем вплотную подошел к понятию иррационального показателя. Он доказал расходимость гармонического ряда 1 Выдающимся алгебраистом своего времени стал монах-францисканец Лука Пачоли ок. 1445 - ок.1514 близкий друг Леонардо да Винчи, работавший профессором Математики в университетах и различных учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя, Флоренции, Милана и других городов.
Он ввел алгебраические буквы caratteri algebraici, дал обозначения квадратному и кубическому корням, корню четвертой степени неизвестную х он обозначал со cosa - вещь, х2 - се censo - квадрат, от латинского census, х3 - cu cubo, x4 - се. се. censo de censo, x5 - р г primo relato - первое relato, x6 - р г х - се. cu. censo de второе relato, х8 - ce. ce. ce. de censo, x9 - cu. cu. cubo de cubo, x10 - ce. p r censo de primo relato, x13 - 3 r tersio relato - третье relato и т. д. свободный член уравнения - n numero - число. Как видим, некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с помощью показателей 2 и 3 х4 х22 , х6 х23, х9 х33 и т. д а в случаях, когда так не получалось, пользовался словом relato например, при образовании х5, х7, х11 и т. д Специальными символами Пачоли обозначил вторую неизвестную и ее степени. Для обозначения операции сложения он воспользовался знаком plus - больше, для обозначения вычитания - знаком minus - меньше. Он сформулировал правила умножения чисел, перед которыми стоят знаки и. Раздел Суммы, посвященный алгебраическим уравнениям, Пачоли закончил замечанием о том, что для решения кубических уравнений х3 ах b и х3 b ах искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга. Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н. Шюке ум. ок. 1500 г который в книге Наука о числах в трех частях изложил правила действий с рациональными и иррациональными числами и теорию уравнений.
Для сложения и вычитания он вслед за Пачоли пользовался знаками и, причем, знак служил и для обозначения отрицательного числа.
Неизвестную величину он называл premier первое число, а ее степени - вторыми, третьими и т. д, числами. Записи степеней неизвестной у Шюке лаконичны.
Например, современные символы 5, 5ж, 5х, 5х2, 5х3 у него выглядели бы так 5 , 51, 52, 53. Вместо равенства 8х37х-1 56х2 Шюке писал 83, умноженное на 71, дает 562 . Таким образом, он рассматривал и отрицательные показатели.
Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал, что эти числа имеют имя нуль. Значительного успеха в совершенствовании алгебраических букв Луки Пачоли достигли немецкие алгебраисты - коссисты. Они вместо и ввели знаки и знаки для неизвестной, и ее степеней, свободного члена.
XVI в. в алгебре ознаменовался величайшим открытием - решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней. Спицион дель Ферро в 1506 г. нашел решение кубического уравнения вида x3 ax b a, b 0. 1 Чуть позже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде х где u - v b, uv, откуда u и v находятся как корни квадратного уравнения. Также он нашел решение уравнения x3 ax b a, b 0 2 в виде х, где u v b, uv. Уравнение же x3 b ax a, b 0 можно решить с помощью уравнения 2 . В те времена предпочитали избегать отрицательных корней и задачи, сводящиеся к отрицательным корням уравнения 2 , преобразовывали так, чтобы они приводили к положительным корням уравнения 3 . Лишь Кардано позже осознал выгоду рассмотрения отрицательных корней.
Почему рассматривались только уравнения вида 1 и 2 ? На этот вопрос ответ дал Кардано. Чтобы разобраться в нем, рассмотрим полное уравнение третьей степени. y3 ay2 by c 0. Не следует думать, что Тарталья и Кардано писали такие уравнения.
Нет, так стали поступать гораздо позже. Записывать все члены уравнения в одной части, приравнивая к одной части, начал Декарт. Да и символики не было, пользовались прообразами символов и словами. Уравнение x3 ax b записывалось примерно так куб х3 некоторое количество а вещей х равно данному числу b. Понять можно, но оперировать сложно. Полное уравнение можно преобразовать в неполное, не содержащее члена с квадратом неизвестной. Сделаем замену y x a и подставим в уравнение получим х3 3 а х2 32 2а b x 3 a2 b c 0. Положим 3 а 0. Найдем отсюда - а 3 и подставим в выражения p 32 2а b, q 3 а2 b c. Тогда уравнение примет вид х3 px q 0. В нашей символике это уравнение соответствует уравнениям 1 , 2 , которые решал Тарталья.
Кардано узнал способ решения уравнений третьей степени, предложенный Тартальи, опубликовал его. Формула же стала носить название формулы Кардано. Выведем теперь ее. Рассмотрим уравнение х3 px q 0. Введем новые неизвестные x u v и подставим их в исходное уравнение получим u3 v3 3uv p u v q 0. Приравняем 3uv p к нулю 3uv p 0. Уравнение примет вид u3 v3 q 0. Тогда uv u3v3 u3 v3 -q. Выражения u3 и v3 можно принять за корни квадратного уравнения z2 qz - 0. Решая его, получим z1 z2 Таким образом, x u v, x. Это и есть формула Кардано.
Не лишне заметить, что в таком виде Кардано ее не искал он формулировал решение уравнений 1 и 2 и рассматривал связь между уравнениями 2 и 3 . В случае, когда 0, под квадратным корнем получается отрицательное число и корень дает мнимость.
Этот случай получил название неприводимого, так как решение уравнения третьей степени не приводится к решению квадратного уравнения. Как уже говорилось, с ним не справились ни Тарталья, ни Кардано. Его с помощью тригонометрии разобрал Виет. Чтобы получить представление о символике Кардано, приведем пример записи корня кубического уравнения x3 6x 20. Выражение записывалось так Rx.u.cu. Rx.10810Rx.u.cu. Rx.10810. Здесь Rx - знак корня Radix , Rx.u.cu означает корень кубический из всего выражения до вертикальной черты или после нее, и - сокращения слов plus и minus.
Кардано показал, что легко можно решить уравнение x4 ax bx2 . Он привел его к виду x4 b x 2, а затем извлечением корня получил квадратное уравнение. Аналогично он рассматривал и некоторые другие виды уравнений. Однако уравнение x4 6x2 36 60x, предложенное да Кои Кардано не сумел решить. Открыл метод решения уравнений четвертой степени 23 - летний ученик Кардано - Луиджи Феррари.
После того, как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравнениях четвертой степени стала более легкой. Феррари рассматривал уравнение, не содержащее члена с x3, т.е. уравнение вида x4 ax2 bx c 0. Он преобразовывал его так, чтобы в левой части был полный квадрат, а в правой - выражение не выше второй степени относительно x. Выделением полного квадрата получалось x4 ax -bx - c , -bx - c. Теперь следовало выполнить такие преобразования, чтобы из левой и правой частей можно было извлечь корень.
С этой целью Феррари вводил новую переменную t и прибавлял к обеим частям выражение 2t t2. Это дает 2tx2 - bx - c at t2, 2tx2 - bx - c at t2 . Нужно, чтобы правая часть была полным квадратом. Вспомним, как обстоит дело с трехчленом ax2 bx c. Выделим в нем полный квадрат ax2 bx c а x2 x a x2 2x - a x2 2x a x 2 . Трехчлен будет полным квадратом, когда 4ac - b2 0. В нашем случае роль коэффициента при x2 играет 2t, а роль свободного члена - выражение в скобках правой части уравнения.
Тогда выражению 4ac - b2 0 соответствует 42t t2 at - c - b2 0, b2 2t 4t2 4at a2 - 4c. Таким образом, нахождение t свелось к решению кубического уравнения, а x находится з квадратного уравнения после извлечения корня из левой и правой частей, т.е. из уравнения x2 t0 . Кардано отмечает, что таким же приемом можно решать уравнения, в которых отсутствует член не с третьей степенью х, а с первой. В этом случае делается подстановка х k y. Открытия, сделанные итальянцами в алгебре и систематически изложенные Кардано, стали доступны математикам других стран и дали импульс развитию науки.
Дальнейшее развитие алгебры было связано с совершенствованием символики и разработкой общих методов решения уравнений. В этом преуспел Франсуа Виета. 2.2