Символика Виета и развитие алгебры. Виет считается одним из основоположников алгебры. Но его интерес к алгебре первоначально связан с возможными приложениями к тригонометрии и геометрии. А задачи тригонометрии и геометрии, в свою очередь, приводили Виета к важным алгебраическим обобщениям.
Так было, например, с решением уравнений третьей степени в неприводимом случае и с исследованием некоторых классов разрешимых алгебраических уравнений высших степеней. Свою алгебру Виет ценил очень высоко. Он не пользовался словом алгебра, эту науку он зазывал искусством анализа. Виет различал видовую логистику и числовую логистику. Термин логистика означает совокупность арифметических приемов вычислений, вид имел смысл символа.
Видовая логистика Виета после внесенных им в символику усовершенствований представляла собой буквенное исчисление. Ее объектами служат геометрические и псевдогеометрические образы, связанные между собой различными соотношениями. Виет был последователем древних он оперировал такими величинами, как сторона, квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб, и т. д образующими своеобразную лестницу скаляров. Действия над скалярами у Виета, как и у древних геометров, подчинены закону однородности составленные из неизвестных и известных величин уравнения должны быть однородными относительно всех их вместе взятых.
Умножению чисел у Виета соответствует образование нового скаляра, размерность которого равна сумме размерностей множителей. Операция, соответствующая делению чисел, дает новую величину, размерность которой равна разности размерностей. Виет разработал символику, в которой наравне с обозначением неизвестных впервые появились знаки для произвольных величин, называемых в настоящее время параметрами.
Для обозначения скаляров он предложил пользоваться прописными буквами искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной Е, I, О, U, Y, а данные - буквами B, D, G или другими согласными Слово коэффициент введено Виетом. Рассматривая выражение А В 2 D A В , он назвал величину D, участвующую с А В в образовании площади, longitude ciefficiens, т. е. содействующей длиной. Из знаков Виет употреблял и дробную черту. Современные скобки у него заменяла общая черта на всем выражением.
Символика Виета страдала недостатками, в некоторых отношениях она была менее совершенна, чем у его предшественников и современников. Виет для записи действий употреблял слова in у него означало умножение, aequatur заменяло знак равенства. Словами же выражались степени различных величин. Для трех низших степеней он взял названия из геометрии, например, А3 называл A cubus. Высшим степеням он давал геометрические наименования, происходящие от низших А9, например A cubo-cubo-cubus.
Известная величина В представлялась как величина девятой степени записью solido-solido-solidum. Если сторона latus умножается на неизвестную величину, то она называется содействующей coefficiens при образовании площади. Уравнение А3 3ВА D Виет записывал так А cubus В planum in 43 aequatur D solido, а уравнение ВАn -Аm n Z так В parabola in А gradum - А potestate aequatur Z homogenae В, умноженное на градус А, минус А в степени равняется однородной Z , Обозначения в числовой логистике выглядели проще N - первая степень, Q - квадрат, С - куб и т. д. Уравнение x3 - 3x 1 записывалось в виде 1С - 3N aequatur 1 Неудобства символики Виета связаны и с требованием однородности.
Как и древние греки, Виет считал, что сторону можно складывать только со стороной, квадрат - с квадратом, куб - с кубом и т. д. В связи с этим возникал законный вопрос имеют ли право на существование уравнения выше третьей степени, поскольку в пространственном мире четвертая, пятая и т. д. степени аналогов не имеют.
Для придания уравнению однородности Виет после входящих в него параметров писал planum плоскость, solidum тело и т. д. Вот как выглядит в записи Виета уравнение х3 ЗВ2х 2z3 A cubus В plano 3 in A aequari Z solido 2. Правило Тартальи для решения уравнения третьей степени у Виета имело вид. Символики Виета придерживался впоследствии П. Ферма. От тирании однородности просто и остроумно сумел освободиться Декарт об этом будет сказано дальше. Может показаться, что Виет ввел в символику алгебры совсем немного.
Буквами для обозначения отрезков пользовались еще Евклид и Архимед, их успешно применяли Леонардо Пизанский, Иордан Неморарий, Николай Орем, Лука Пачоли, Кардано, Бомбелли и многие другие математики. Но сделал существенный шаг вперед Виет. Его символика позволила не только решать конкретные задачи, но и находить общие закономерности и полностью обосновывать их. Это, в свою очередь, способствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии.
Это нововведение обозначение буквами данных и искомых и особенно применение буквенных коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры только теперь стало возможным алгебраическое исчисление как система формул, как оперативный алгоритм. Сказанное, легко подтвердить примерами. Пусть х1, x2 - корни квадратного уравнения. Перемножим разности x - x1 и х - х2 x - x1 х - х2 х2 - х1 х2 х х1х2. Обозначим x - x1 х - х2 х2 px q, сравнивая с предыдущим, получим p - х1 х2 , q x1x2. Выполним то же самое для кубического уравнения x - x1 х - х2 x - x3 x3 - х1 х2 x3 x2 x1x2 x1x3 x2x3 x - x1x2x3. Сравним результат с выражением x - x1 х - х2 x - x3 x3 a1x2 a2x a3. Это дает a1 - x1 x2 x3 a2 x1x2 x1x3 x2x3 a3 - x1x2x3. Такой результат для квадратного уравнения был известен Кардано в случае положительных корней - еще и раньше Кардано отметил свойство корней кубического уравнения относительно коэффициента при х2. Но никакого обоснования в общем виде дать он не мог это сделал Виет для уравнений до пятой степени включительно.
Преимущества символики предоставили Виету возможность не только получить новые результаты, но и более полно и обоснованно изложить все известное ранее.
И если предшественники Виета высказывали некоторые правила, рецептуры для решений конкретных задач и иллюстрировали их примерами, то Виет дал полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней.
Рассмотрим ход рассуждений Виета при решении кубического уравнения. Возьмем уравнение x3 3ax 2b. Положим a t2 xt. Найдем отсюда х и подставим в исходное уравнение. Получим 3a 2b, откуда для определения t наводим квадратное уравнение относительно t3 t3 2 2bt3 - а3 0. Отсюда определится t, а затем и х. Заметим еще, что подстановка а t2 xt приводит исходное уравнение к виду х t 3 - t3 2b, которое вместе с уравнением х t t a, х t 3t3 a3 дало бы возможность применить метод Тартальи и дель Ферро. Но Виет таким путем не пошел.
Рассмотрим теперь пример. Найдем методом Виета действительный корень уравнения х3 24x 56. Здесь а 8, b 28. Запишем уравнение относительно t t3 2 56t3 - 83 - 0. Решим его t3 -28 - 2836 t1 2 t2 -4. Найдем теперь х x1 -2 , x2 2 x1. При изложении метода Феррари для решения уравнения четвертой степени Виет провел аналитически выкладки, указанные выше, и получил уравнение, содержащее основную неизвестную А и вспомогательную Е х и t у Феррари. Виет, верный последователь древних, оперировал только рациональными положительными числами, которые он обозначал буквами.
Если в результате подстановки в уравнение значений параметров неизвестное оказывалось иррациональным, он давал этому случаю особое обоснование. В качестве примера такого обоснования приведем геометрическое решение кубического уравнения по способу дель Ферро - Тартальи. В записи Виета уравнение имело вид A3 3BA D. Известное решение А является разностью сторон которые образуют площадь В и разность кубов которых равна D. Если обозначить стороны буквами u и v, то uv B, u3 - u3 D, A u -v. Виет придавал решению геометрическое толкование он вместо D solidum записывал произведение В planum на D, т. е. получал уравнение A3 3ВA BD. Затем он определял четыре величины, образующие геометрический ряд, так, чтобы прямоугольник, построенный на средних или на крайних, по площади равнялся В, а разность крайних была D. Тогда A будет разностью средних.
Поясним сказанное.
Обозначим эти четыре величины через z, u, v и t. Тогда можно записать z u u v v t, zt uv B, z - t D, A u - v. Если в решении Тартальи D заменить на BD, то оба решения совпадут. Способ Виета означает замену кубического корня двумя средними геометрическими, что полностью соответствует духу древних греков. Из получившихся пропорций найдем u3 z2t, v3 zt u3 - v3 zt z - t BD Виет особо рассматривал трехчленные уравнения различных степеней и в первую очередь интересовался количеством их корней, имея в виду только положительные корни.
Отрицательные корни он определял как корни уравнения, в котором неизвестное х заменено на -у. Виет, получал трехчленные уравнения из квадратных он поступал так, чтобы число положительных корней оставалось прежним. При этом он пользовался подстановкой х kym или специальными приемами. Один из приемов Виета выглядит так. Пусть дано уравнение x2 ах b, а, b 0. Для получения уравнения четвертой степени возведем левую и правую части уравнения в квадрат х2 ах - b 3 x4 a2x2 b2 2ax3 - 2bx2 - 2abx 0 Полученное уравнение можно переписать x4 2ах3 2а2x2 - а2x2 b2 - 2bх2 - 2abx 0. Исключим 2ах3 2a2x2, воспользовавшись тем, что b х2 ax 2ах х2 аx b2аx, 2ах3 2a2x 2abx. Тогда x4 2abx - а2x2 b2 - 2bx2 - 2abx 0, x4 - a2x2 b2 - 2bx2 0. Теперь осталось исключить x2 из исходного уравнения найдем x2 b - ax и подставим в последнее x4 - a2 2b x2 b2 0, x4 - a2 2b b - ax b2 0, x4 2ab a3 x b2 a2b Полученное уравнение четвертой степени имеет те и только те положительные корни, которые были у исходного квадратного.
Для нахождения трехчленного уравнения третьей степени Виет в качестве исходного брал уравнение ax - x2 ab и умножал его левую и правую части на х b это при водило к уравнению а - b х2 - х3 ab2 с теми же положительными корнями, которые были у квадратного.
И еще один частный вопрос рассмотрел Виет. В уравнении ахm - xm n b имеющем по условию два корня, он определил коэффициенты, при которых корни уравнения имели бы заданные значения. Пусть эти корни у и z. Тогда a, b Ту же задачу он решил относительно уравнения xm n axm b, где m n - число четное, m - нечетное.
Чрезвычайно важно то, что Виет распространил известные ранее частные преобразования на все алгебраические уравнения. Подстановку х у k, применявшуюся Кардано для исключения из кубического уравнения члена второй степени, он применил к уравнениям любой степени. Также известную Кардано обратную подстановку х k y Виет употреблял, чтобы освободиться в некоторых случаях от отрицательных коэффициентов и иррациональностей.
Например, уравнение х4 - 8х подстановкой х он преобразовал к виду y4 8у3 80. Подстановкой х y Виет преобразовывал уравнение n-й степени так, что коэффициент при члене n -1 -й степени a становился равным b, в то время как старший коэффициент оставался равным единице. Подстановку х ky он применял, чтобы избавиться от дробных коэффициентов. Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами.
Первоначальные сведения и по тому, и по другому вопросу были у Кардано. Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро и Тартальи, решал некоторые уравнения третьей степени разложением на множители. В уравнении 2х3 4x2 25 l6x 55 с этой целью он прибавлял к обеим частям 2x2 10x 5. Затем преобразовывал его к виду 2х 6 х2 5 х 10 2х 6 , сокращал на 2х 6 и получал квадратное уравнение. Кардано же при нахождении положительного корня уравнения х3 b ах складывал его почленно с уравнением у3 ay b, получал из них квадратное уравнение делением на х минус известный отрицательный корень х - -у. Такое преобразование позволило Кардано установить, что коэффициент при члене второй степени в правой части кубического уравнения равен сумме его корней.
Это был первый шаг к установлению зависимости между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения. Виет составил полные уравнения с заданными положительными корнями вплоть до пятой степени и показал, как образуются коэффициенты при xn-1, xn-2, xn-3, Он установил, что эти коэффициенты при условии, что старший коэффициент равен 1 или -1 свободный член в правой части должен был стоять со знаком, представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы самих корней, парных произведений их, произведений корней, взятых по три, и т. д. Работа, в которой Виет подробно рассмотрел это утверждение, до нас не дошла.
Неизвестно, как он поступал в том случае, когда уравнение имеет и отрицательные корни. Но, скорее всего, это не представляло для Виета особых трудностей достаточно было сделать в уравнении замену х -у и можно оперировать с положительными корнями нового уравнения.
Такие примеры в его работах встречались. Если уравнение х3 q рх имеет два положительных корня х1 и х2, то уравнение y3 ру q - один положительный корень у1 -х3 причем у1 х1 х2 это знал Кардано, x12 x22 x1x2 p, x1x2 x1 x2 q. Как видим, в исследованиях Виета встречались начала теории симметрических функций и разложения многочленов на линейные множители, что вскоре привело к открытию основной теоремы алгебры о числе корней уравнения произвольной степени.
Эти исследования Виета продолжили математики следующего поколения Т. Гарриот 1560- 1621 , А.Жирар 1595-1632 , Р. Декарт 1596-1650 . 2.3