Символика Декарта и развитие алгебры. В сочинении Исчисление г. Декарта неизвестный автор изложил арифметические основы математики Декарта. Они писал Эта новая арифметика состоит из букв a, b, c и т.д а также из цифр 1, 2, 3 и т.д. Если цифры стоят перед буквами, например, 2а, 3b, 1 4с, то это означает, что величина а берется двойной, величина b - тройной, а от величины с берется четверть.
Но если они находятся позади букв, например, а3, b4, c5, то это означает, что величина а умножается сама на себя три раза, величина b - четыре раза, а величина с - пять раз. Сложение производится с помощью такого знака. Так, чтобы сложить а и b, я пишу а b. Вычитание производится с помощью такого знака Так, чтобы вычесть а из b, я пишу b - a и т. д. Если в вычитаемом выражении есть несколько частей, то у них в нем изменяются лишь знаки.
Так, если из d требуется вычесть а - b с, то останется d - а b - -с. Точно так же при вычитании а2 - b2 из с2 - d2 останется с2 - d2 - а2 b2. Но если имеются присоединенные цифры и члены одинакового вида, то их следует подписывать друг под другом и производить их сложение и вычитание как в обыкновенной арифметике Если требуется умножить одну букву на другую, то их следует лишь соединить вместе, но если имеются присоединенные, числа, то они следуют законам обыкновенной арифметики. Что касается знаков, то известно, что на дает в произведении и что умноженный на также дает в произведении. Но на - или же умноженный на, дает в произведении Точно так же определялись действие деления, операции с дробями по правилам обыкновенной арифметики. Вот рассуждение о корне Когда корень извлечь из квадрата нельзя, его квадрат помещают под связку, чтобы отметить, что его следует рассматривать как корень, и тогда его корень называют иррациональной величиной. Из всего этого видно, как далеко зашла формализация алгебраических действий по сравнению с тем, что было у древних греков и у предшественников Декарта видно также, что надобности в геометрической интерпретации алгебры уже нет. Формализации алгебры и всей математики чрезвычайно способствовало то, что Декарт усовершенствовал буквенную символику.
Он обозначал известные величины буквами а, b, с неизвестные неопределенные - буквами x, y, z, Он ввел обозначения степеней a2, a3 , х3 Правда, квадраты величин он выражал и с помощью символов аа, хх. Обозначение корня несколько отличается от современного.
Так, выражение означает один из кубических корней, входящих в формулу Кардано.
Все буквы в формулах Декарта считались положительными величинами для обозначения отрицательных величин ставился знак минус если знак коэффициента произволен, перед ним ставилось многоточие.
Знак равенства имел необычный вид. Вот как, например, выглядело уравнение с произвольными коэффициентами x4 px3 qx 0. И еще один символ применял Декарт он ставил звездочки, чтобы показать отсутствующие члены уравнения, например x5 - b 0. Другие математики того времени тоже пользовались символикой, близкой к разработанной Декартом, а древние греки излагали свои мысли вообще без символики. Ферма построил аналитическую геометрию, располагая запасом употребляемых до него алгебраических средств. все это может побудить нас недооценить те успехи, которые поставлены здесь во главу всей математической деятельности Декарта.
Значение этих успехов становится, однако, понятным, если мы примем во внимание, как часто мы должны были для изложения идей более ранних авторов прибегать к пользованию алгебраической формой Декарта без нее мы вряд ли смогли бы это сделать сколь-нибудь сжато и наглядно. Мы смогли воспользоваться этой алгебраической формой, с одной стороны, потому что декартова трактовка алгебры благодаря своим преимуществам получила ныне широкое распространение, и знакомство с ней происходит уже в школе.
С другой стороны, она уже сама по себе в большой мере расчистила путь многому, что раньше могло быть изложено лишь весьма громоздким образом и было поэтому доступно лишь очень способным математикам Цейтен Г. Г, История математики в XVI и XVII веках, с. 202 Иными словами, разработка и введение алгебраической символики сделали математику более демократичной.
Уравнения, по утверждению Декарта, представляют собой равные друг другу суммы известных и неизвестных членов или же, если рассматривать эти суммы вместе, равны ничему нулю. Декарт указал, что уравнения часто удобно рассматривать именно последним образом, т. е. в виде Р х 0. Для теоретических построений Декарта такая запись уравнений играла важную роль. Этой формой он пользовался при установлении числа корней алгебраического уравнения, что привело к формулировке основной теоремы алгебры число корней уравнения положительных - истинных, отрицательных - ложных и мнимых - воображаемых равно числу единиц в наивысшем показателе степени входящей в уравнение неизвестной величины.
Справедливость теоремы он аргументировал тем, что при перемножении n двучленов вида х - а получается многочлен степени n. Недостающие воображаемые корни, природу которых Декарт не разъясняет, можно примыслить. Если все корни положительны, то, по словам Декарта, дело обстоит так Знайте, что всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений ибо если, например, принять х равным 2, или же х - 2 равным ничему, а также х 3 или же х - 3 0, то, перемножив оба эти уравнения x - 2 0 и x - 3 0, мы получим хх - 5х 6 0, или же хх 5x - 6, уравнение, в котором величина х имеет значение 2 и вместе с тем значение 3. Если принять еще, что х - 4 0 и умножить это выражение на хх - 5x 6 0, то мы получим х3 - 9хх 2бх - 24 0, другое уравнение, в котором х, обладая тремя измерениями, имеет вместе с тем три значения, а именно 2, 3 и 4 Если же х выражает собой также недостаток какой-нибудь величины, скажем 5, то мы получим х 5 0 . Умножив х 5 на левую часть предыдущего уравнения и приравняв результат нулю, получим x4 - 4x3 - 19xx 10бх - 120 0, 1 уравнение, у которого четыре корня, именно три истинных 2, 3, 4 и один ложный -5 . Построение левой части уравнения в виде произведения двучленов приводит к тому, что степень уравнения можно понизить, разделив левую часть его на х - a, где а - корень уравнения.
С другой стороны, если такое деление невозможно, то число а не будет корнем уравнения. Левую часть уравнения 1 , например, можно разделить на х - 2, х - 3, х - 4, х 5 и нельзя разделить на любой другой двучлен х - а это показывает, что оно может иметь лишь четыре корня 2, 3, 4 и -5 . Декарт сформулировал правило знаков, дающее возможность установить число положительных и отрицательных корней уравнения Истинных корней может быть столько, сколько раз в нем изменяются знаки и а ложных столько, сколько раз встречаются подряд два знака или два знака Впоследствии он внес уточнение при наличии мнимых невозможных корней уравнения число положительных корней может а не должно быть равным числу перемен знаков.
Декарт высказал правила и на примерах показал, какие следует выполнять преобразования, чтобы изменить знаки корней уравнения, увеличить или уменьшить корни, получить уравнение, не содержащее второго члена, и т. д. Легко, далее, сделать так, чтобы все корни одного и того же уравнения, бывшие ложными, стали истинными, и вместе с тем все бывшие истинными стали ложными именно это можно сделать, изменив на обратные все знаки или стоящие на втором, четвертом, шестом и других, обозначенных четными местах, не изменяя знаки первого, третьего, пятого и им подобных, обозначенных нечетными числами мест. Применив такое преобразование к уравнению 1 , получим уравнение х4 4x3 - 19хх - 106x - 120 0, 2 имеющее один положительный корень 5 и три отрицательных -2, -3, -4. Можно, не зная корней уравнения, увеличить или уменьшить их на какую-либо величину, для чего необходимо сделать соответствующую замену.
Например, уравнение 2 после замены х у - 3 преобразуется к виду y3 - 8у2 - у 8 0 его положительный корень 8 превышает положительный корень уравнения 2 на 3. Декарт заметил, что, увеличивая истинные корни, мы уменьшаем ложные и наоборот, при этом он имел в виду абсолютные величины корней.
Правило исключения второго члена уравнения, известное еще Виету, Декарт иллюстрировал примерами.
Так, уравнение y4 16y3 71y2 - 4y -120 0 подстановкой z - 4 у он сводил к z4 - 25z2 - 60z - 36 0 его корни -3, -2, -1, 6. Второй член уравнения x4 - 2ах3 х2 2а2 - с2 - 2aзx а4 0 он исключал подстановкой х z a его к виду z4 z2 a2 - c2 - z a3 ac2 a4 - a2c2 0. Декарт говорил, что можно также сделать, чтобы все ложные корни уравнения стали истинными, но истинные не стали ложными. Он утверждал, что легко приблизительно оценить величину неизвестных отрицательных корней уравнения.
В этом можно усмотреть постановку вопроса о границах действительных корней уравнения, которому впоследствии уделил большое внимание Ньютон.
Для умножения и деления неизвестных корней уравнения на число, приведения дробных и иррациональных коэффициентов к целым Декарт пользовался теми же подстановками, которые были известны и Виету. Рассмотрим пример.
Если положить у х и z 3у, то уравнение x3 - x2 x - 0 преобразуется последовательно в уравнение y3 - 3y2 y - 0, а затем в z3 - 9z2 26z - 24 0. Корни окончательного уравнения 2, 3, 4 предыдущего 1, первого О воображаемых мнимых корнях уравнения Декарт писал Как истинные, так и ложные корни не всегда бывают действительными, оказываясь иногда лишь воображаемыми. Другими словами, хотя всегда можно вообразить себе у каждого уравнения столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням.
Так, например, хотя у уравнения х3 - 6xx 13x -10 0 можно вообразить себе три корня, но на самом деле оно имеет только один действительный, именно 2. Что касается двух других корней, то сколько бы их ни увеличивать, уменьшать или умножать так, как я только что объяснил, все равно их не удастся сделать иными, чем воображаемыми. Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры была поставлена Декартом - задача приводимости уравнений, т. е. представления целого многочлена с рациональными целыми коэффициентами в виде произведения многочленов низших степеней.
Декарт установил, что корни уравнения третьей степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, строятся с помощью циркуля и линейки иначе говоря, уравнение разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда уравнение имеет целый корень т. е. левая часть его может быть представлена в виде произведения множителей первой и второй степеней. Для уравнения четвертой степени он также указал условие разрешимости оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты, т. е. соответствующего уравнения шестой степени, кубического относительно у2. Декарт не показал, как он получил окончательный результат. Ф. Схоотен вывел резольвенту с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Он представил многочлен четвертой степени в виде x4 - px2 - qx r x2 yx z x2 - yx v, откуда получил уравнения для нахождения у, z, у z - y2 v -p, -zy vy -q, vz r. Разрешающее уравнение резольвента имеет вид у6 - 2ру4 р2 - 4г y2 - q2 0. В конце третьей книги Геометрии Декарт графически решал уравнения третьей, четвертой, пятой и шестой степеней, отыскивая их корни как пересечение некоторых линий.
Вклад Декарта в математику не ограничивается одной Геометрией в его переписке содержатся решения многих задач, в том числе связанных с бесконечно малыми. 3