Линейные и нелинейные волны. В качестве математических моделей при описании распространения волн в различных средах часто используют уравнения в частных производных.
Это такие уравнения, которые содержат в качестве неизвестных производные от характеристик рассматриваемого явления. Причем поскольку характеристика например, плотность воздуха при распространении звука зависит от расстояния до источника и от времени, то и в уравнении используются не одна, а две а иногда и больше производные.
Простое волновое уравнение имеет вид uttc2uxx 1.1 Характеристика волны и в этом уравнении зависит от пространственной координаты х и времени t, а индексы у переменной и обозначают вторую производную от и по времени utt и вторую производную от и по переменной xuxx. Уравнение 1 описывает плоскую одномерную волну, аналогом которой может служить волна в струне. В этом уравнении в качестве и можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в воздухе.
Если рассматривают электромагнитные волны, то под и следует понимать напряженность электрического или магнитного поля. Решение волнового уравнения 1, которое впервые было получено Ж. ДАламбером в 1748 году, имеет вид ux, tfx-ctgxct 1.2 Здесь функции f и g находят из начальных условий для и. Уравнение 1.1 содержит вторую производную от и по t, поэтому для него следует задавать два начальных условия значение и при t 0 и производную и, при t 0. Волновое уравнение 1.1 имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем.
Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип суперпозиции решений уравнения 1.1 и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, которую наблюдал Рассел, следует, что ее значение зависит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением 1.1, такой зависимости нет. Непосредственной подстановкой в уравнение 1.1 можно убедиться, что зависимость ux, ta coskx-t 1.3 в которой а, k и постоянные, при k является решением уравнения 1. В этом решении а амплитуда, k волновое число, а частота.
Приведенное решение представляет собой монохроматическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью cpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 1.4 На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом пакетом волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения пакета характеризуется групповой скоростью CgHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 1.5 определяемой через производную от частоты по волновому числу k. Определить, с какой линейной или нелинейной моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформулирована, то решение этого вопроса упрощается и выполнение принципа суперпозиции решений можно проверить.
Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными.
Только в предельном случае малых амплитуд эти волны могут считаться линейными. Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением.
Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уединенной волне отметил, что звук от выстрела пушки распространяется в воздухе быстрее, чем команда произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газовой динамики.