Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна

Содержание 1. Введение 1. Волны в природе 2. Открытие уединенной волны 3. Линейные и нелинейные волны 2. Уравнение Кортевега - де Фриса 1. Солитоны Кортевега - де Фриса 2. Групповой солитон 3. Постановка задачи 1. Описание модели 2. Постановка дифференциальной задачи. 4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза 1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ 2. Законы сохранения для уравнения КдФ 5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ 1. Обозначения и постановка разностной задачи. 2. Явные разностные схемы обзор 5.3 Неявные разностные схемы обзор. 6.Численное решение 7. Заключение 8. Литература 1. Введение Волны в природе Из школьного курса физики 1 хорошо известно, что если в какой-либо точке упругой среды твердой, жидкой или газообразной возбудить колебания, то они будут передаваться в другие места.

Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом.

При этом колебания, возбужденные в одном месте, распространяются в пространстве с определенной скоростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды в частности, колебательного процесса от одной точки к другой.

Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за деформаций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществляются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жидкости или газе в отличие от твердых тел нет сил сопротивления сдвигу, поэтому могут распространяться только продольные волны.

Хорошо известный пример продольных волн в природе звуковые волны, которые возникают из-за упругости воздуха. Среди волн иной природы особое место занимают электромагнитные волны, передача возбуждений у которых происходит из-за колебаний электрического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на процесс распространения волн, однако электромагнитные волны в отличие от упругих могут распространяться даже в пустоте.

Связь между различными участками в пространстве при распространении таких волн обусловлена тем, что изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля и наоборот. С явлениями распространения электромагнитных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседневной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть работу радио и телевидения, которая основана на приеме радиоволн.

К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружающие нас предметы. Очень важным и интересным типом волн являются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса физики. Однако, по выражению Ричарда Фейнмана 2, более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах.

Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести.

Развитие этого явления со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю. Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее длины.

Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения, умноженному на длину волны. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести. Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна корню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхностного натяжения, а в знаменателе произведение длины волны на плотность воды. Для волн средней длины волны скорость их распространения зависит от перечисленных выше параметров задачи 2. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление. 2.

Открытие уединенной волны

. Эйри подверг критике результаты экспериментов, которые наблюдал Рассел... В-третьих, Рассел обнаружил, что возможен распад одной большой волны н... На континенте ее не заметили совсем, а в самой Англии на нее обратили ... Волны на воде издавна привлекали к себе внимание исследователей.

Линейные и нелинейные волны

В качестве математических моделей при описании распространения волн в ... Решение волнового уравнения 1, которое впервые было получено Ж. Волновое уравнение 1.1 имеет очень важное свойство, суть которого закл... В этом решении а амплитуда, k волновое число, а частота. Приведенное р... Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в ...

Уравнение Кортевега - де Фриса

Окончательная ясность в проблеме, которая возникла после опытов Рассел... Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в существе наблюдений Рассела... При помощи этого метода были получены результаты о существовании и гла... 4.2.

Законы сохранения для уравнения КдФ

Законы сохранения для уравнения КдФ. Получим отсюда и следует первый закон сохранения Здесь в качестве a и ... Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0. 4.2 Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравнение 3.... Под физическим смыслом первых двух интегральных законов сохранения в н...

Разностные схемы для решения уравнения КдФ

Разностные схемы для решения уравнения КдФ 3.1.

Обозначения и постановка разностной задачи

Кроме того, формально полагаем yiNyi для i 1. Введем скалярное произведение в пространстве h 5.1 Снабдим линейное пр... 5.2. Другим примером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема Ла... Согласно 21, схема является устойчивой при выполнении условия при малы...

Неявные разностные схемы обзор

В этом параграфе мы рассмотрим неявные разностные схемы для уравнения ... Явным образом было получено решение. Программа для расчетов была напис... Вопрос о консервативности этой схемы не исследовался. . 7.

Заключение

Заключение Настоящая работа посвящена исследованию уравнения Кортевега де Фриза. Проведен обширный литературный обзор по теме исследования.

Изучены различные разностные схемы для уравнения КдФ. Выполнен практический счет с использованием явной пяти точечной разносной схемы Как показал анализ литературных источников, явные схемы для решения уравнений типа КдФ наиболее применимы. В данной работе также решение было получено с использованием явной схемой. 8.

Литература

Литература 1. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. М. Наука, 1964. Т. 3. 2. Фейнман Р Лейтон Р Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М. Мир, 1965. Вып.4. 3. Филиппов А. Г Многоликий солитон.

М. Наука, 1986. Б-чка Квант Вып. 48. 4. Рубанков В.Н. Солитоны, новое в жизни, науке, технике. М. Знание, 1983. Физика Вып. 12. 5. Korteweg D.J de Vries G. On the change form of long waves advancing in a rectangular channel and on new type of long stationary waves. Phyl. May. 1895. e5. P. 422-443. 6. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме В кн. Вопросы теории плазмы, Вып.4. М. Атомиз-дат, 1964, с.20-80. 7. Березин Ю.А Карпман В.И. К теории нестационарных волн конечной амплитуды в разреженной плазме.

ЖЭТФ, 1964, т.46, вып.5, с. 1880-1890. 8. Zabusky N.J Kruskal M.D. Interactions of solitonsin a collisionless plasma and the reccurence of initial states Phys. Rev. Lett. 1965. V.15. еб. Р.240-243. 9. Буллаф Р Кодри Ф. Солитоны. М. Мир 1983 10. Sjoberg A. On the Korteweg-de Vries equation, existence and uniqueness, Uppsala University, Department of Computers, 1967 11. Temam R. Sur un probleme non lineare J.Math. Pures Anal. 1969, V.48, 2, P. 159-172. 12. Лионе Ж Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.

М. Мир, 1972. 13. Кружков С.Н. Фаминский А.В. Обобщенные решения для уравнения Кортевега-де Фриза. Матем. сборник, 1983, т. 120162, еЗ, с.396-445 14 Gardner C.S Green J.M Kruskal M.D Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097. 15. Шабат А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза ДАН СССР, 1973, т.211, еб, с.1310-1313. 16. Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений Дисс докт. физ матем. наук,МРУДН,2001 17. Miura R.M Gardner C.S Kruscal M.D. Korteweg-de Vries equation and generlization.

II. Existence of conservation laws and constants of motion. J.Math. Phys. 1968. V.9. P. 1204-1209. 18. Амосов А. А Злотник А.А. Разностная схема для уравнений движений газа. 19. Самарский А.А Мажукин В.И Матус П.П Михайлик И.А. Z2-консервативные схемы для уравнения Кортевега-де Фриса. ДАН, 1997, т.357, е4, с.458-461 20. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов.

Новосибирск Наука. 1982. 21. Березин Ю.А О численных решениях уравнения Кортевега-де Вриза. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1973, т.4, е2, с.20-31 22. Самарский А.А Николаев Методы решения сеточных уравнений. М Наука, 1978 23. Самарский А.А Гулин А.В. Численные методы. М Наука, 1989 24. Бахвалов Н.С Жидков Н.П Кобельков Г.М. Численные методы. М Наука, 1987 HYPER13PAGE HYPER15 HYPER13PAGE HYPER1414HYPER15 WINMEРабочий столрис 1.tifRoot Entry.