Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохранения.
В работе 17 приводится строгое доказательство этого факта.
В работах 11, 12 различные законы сохранения применялись для доказательства нелокальных теорем существования решения задачи 3.2,3.4 из соответствующих пространств. Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для задачи Коши на R1 и периодической задачи.
Для получения первого закона сохранения достаточно проинтегрировать уравнения 3.2 по пространственной переменной. Получим отсюда и следует первый закон сохранения Здесь в качестве a и b выступают и - для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0. 4.2 Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравнение 3.2 на 2 ut, x и проинтегрировать по пространственной переменной.
Тогда, используя формулу интегрирования по частям получим но в силу краевых условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид 4.3 Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение 3.2 на и2 2 ихх, таким образом получим После применения несколько раз интегрирования по частям третий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагаемые исчезают из-за граничных условий.
Таким образом из первого интеграла получаем что эквивалентно 4.4 А это и есть третий закон сохранения для уравнения 3.2. Под физическим смыслом первых двух интегральных законов сохранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохранения физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок. 5.