Обозначения и постановка разностной задачи.
В области HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x, t0xl,0tT обычным образом введем равномерные сетки, где Введем линейное пространство h сеточных функций, определенных на сетке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15со значениями в узлах сетки yiyhxi. Предполагается, что выполнены условия периодичности y0yN. Кроме того, формально полагаем yiNyi для i 1. Введем скалярное произведение в пространстве h 5.1 Снабдим линейное пространство Пг нормой Поскольку в пространство h входят периодические функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведению Будем строить разностные схемы для уравнения 3.2 на сетке с периодическими краевыми условиями.
Нам потребуются обозначения разностных аппроксимаций. Введем их. Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном n-м временном слое, то есть Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных.
Для первой производной по времени Аналогично для первой производной по пространству Теперь введем обозначения для вторых производных Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим образом Также нам потребуется аппроксимация у2, которую мы обозначим буквой Q и введем следующим образом 5.2 Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксимацию, т.е. за исключением аппроксимации у2 на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у2 на полу целом слое Замечание 2. Стоит отметить, что для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151 выполняется равенство Определение 1. Следуя 19 разностную схему для уравнения КдФ будем называть консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог первого интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи.
Определение 2. Следуя 19 разностную схему для уравнения КдФ будем называть L2-консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог второго интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи. 5.2. Явные разностные схемы обзор.
При построении разностных схем будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы 19 для линеаризованного уравнения КдФ, которое сохраняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения. 5.3 Исследуем теперь схему 5.4 на свойства консервативности.
Выполнение первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье слагаемые схемы 5.4 дадут 0, а от первого останется 5.4 Это сеточный аналог первого закона сохранения. Для вывода второго закона сохранения умножим скалярно уравнение 5.3 на 2 у. Приходим к энергетическому тождеству 5.5 Наличие отрицательного дисбаланса говорит не только о невыполнении соответствующего закона сохранения, но и ставит под сомнение вопрос вообще об устойчивости схемы в наиболее слабой норме L2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В работе 15 показано, что схемы семейства 3.18 являются абсолютно неустойчивыми в норме L2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Другим примером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема Лакса-Вендрофа 20. Это схема типа предиктор-корректор В данный момент наиболее популярными схемами для уравнения КдФ считаются трехслойные схемы ввиду их простоты, точности и удобства реализации. 5.6 Эту же схему можно представить в виде явной формулы 5.7 Самой простой трехслойной схемой является следующая схема Эта схема была использована при получении первых численных решений КдФ 8. Эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком О 2 h2. Согласно 21, схема является устойчивой при выполнении условия при малых Ь Приведем еще несколько схем. Трехслойная явная схема с порядком аппроксимации O2 h420 Третья производная по пространству аппроксимируется на семиточечном шаблоне, а первая строится по пяти точкам.
Согласно 21, эта схема устойчива при выполнении условия при малых h Легко видеть, что для этой схемы с более высоким порядком аппроксимации условие устойчивости является более жестким.
В работе 19 предлагается следующая явная разностная схема с порядком аппроксимации О2 h2 5.8 Так как разностное уравнение 5.8 можно записать в дивергентном виде 5.9 то, скалярно умножив уравнение 5.9 на 1, получим следовательно, выполняется соотношение которое можно считать сеточным аналогом первого закона сохранения.
Таким образом, схема 5.8 является консервативной.
В 19 доказано, что схема 5.8 является L2-консервативной и ее решение удовлетворяет сеточному аналогу интегрального закона сохранения 5.3.