Исторический обзор аксимоматического построения проективной геометрии. Имеются различные аксиоматические способы построения проективного пространства. Наиболее распространенным является видоизменение системы аксиом, предложенной в 1899 году Гильбертом для обоснования элементарной геометрии. Проективное пространство рассматривается как совокупность элементов трех родов точек, прямых и плоскостей, между которыми установлено основное для проективной геометрии отношение инцидентности, характеризующееся надлежащими аксиомами.
Они отличаются от соответствующих групп аксиом элементарной геометрии, тем, что требуют, чтобы каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, имели общую точку, и на каждой прямой имелось, по крайней мере, три различные точки. В конкретных случаях для получения более богатой проективной геометрии эта совокупность аксиом дополняется аксиомами порядка и непрерывности для действительного проективного пространства, аксиома Паппа для проективной геометрии над коммутативными телами, Фано постулатом для проективной геометрии над телами, характеристика которого порядка 2 и т.д. Замечательным положением проективной геометрии является принцип двойственности.
Говорят, что точка и прямая точка и плоскость, прямая и плоскость инцидентны, если точка лежит на прямой или прямая проходит через точку и т.д Тогда если верно некоторое предположение А о точках, прямых и плоскостях проективного пространства, сформулированные только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и двойственное предложение В, которое получается из А заменой слова точка на слово плоскость, слово плоскость на слово точка и с сохранением слова прямая.
Важную роль в проективной геометрии играет Дезарга предложение, выполнение которого необходимо и достаточно для введения проективными средствами системы проективных координат, составленных их элементов некоторого тела, естественным образом связанного с точкой проективной прямой.
Основы проективной геометрии заложены в XVII в Ж. Дезаргом и Б. Паскалем. Большое значение для последующего развития проективной геометрии имели работы П. Монтена 2-я половина XVIII в начало XIX в. Как самостоятельная дисциплина проективная геометрия была изложена Понселе начало XIX в. Заслуга Ж. Понселе заключается в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс, и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур.
К этому же периоду относятся работы Ж. Брионшона. Дальнейшее развитие проективная геометрия получила в трудах Я. Штейнера и М. Шаля. Большую роль в развитии проективной геометрии сыграли работы К. Штаудта, в которых были намечены также контуры аксиоматического построения проективной геометрии. Все эти геометрии, стремились доказать теоремы проективной геометрии синтетическим методом, положив в основу изложенные проективные свойства фигур.
Аналитическое направление в проективной геометрии было намечено работами А. Мебиуса. Влияние на развитие проективной геометрии оказали работы Н.И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрии, систематизировать с точки зрения проективной геометрии. Развитие аналитических методов обычной проективной геометрии и построение на этой базе комплексной проективной геометрии поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия.
В решении этого вопроса больших успехов добились А.Н. Колмогоров и Л.С. Понтрягин.