Проективное пространство. Теорема Дезарга

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ Забайкальский государственный педагогический университет им. Чернышевского РЕФЕРАТ по геометрии Проективная геометрия.Доказательство теоремы Дезарга Выполнила Емельянова Людмила, ФМФ, 2 курс. Проверила доц. Вольховская Анна Тимофеевна Чита 2004СОДЕРЖАНИЕ СОДЕРЖАНИЕ 1 ВВЕДЕНИЕ 2 Развитие начертательной геометрии, как одной из ветвей геометрии, науки о пространстве и пространственных объектах. 2 ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТАРНСТВО. 7 Исторический обзор аксимоматического построения проективной геометрии 7 Расширенное евклидово пространство. 8 Несобственные элементы пространства 9 Аксиоматика проективной геометрии 11 Аксиомы соединения 11 Аксиомы порядка 12 Аксиома непрерывности 12 Принцип двойственности 13 Большой принцип двойственности принцип двойственности в пространстве 14 Малый принцип двойственности принцип двойственности на плоскости 14 ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА 14 Доказательство векторным методом 15 Доказательство при помощи теоремы Менелая 16 Доказательство в проективной системе координат 18 Конфигурация Дезарга 19 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 21 Жерар Дезарг 21 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 23 ВВЕДЕНИЕ Развитие начертательной геометрии, как одной из ветвей геометрии, науки о пространстве и пространственных объектах.

С момента возникновения геометрия развивалась, тесно переплетаясь с другими науками математикой, механикой, физикой, а также оказывала влияние на разработку теоретических основ в технике и изобразительном искусстве.

Потребность в построении изображений по законам геометрии проекционных чертежей, projecere- бросать вперед возникла из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д а на позднем этапе - из запросов машиностроения и техники.

Относительно точные сведения об уровне геометрических знаний в Древнем Египте сообщает папирус Ахмеса измерение земельных участков, вычисление пирамид.

Основателем геометрии в Греции считают финикиянина Фалеса Милетского, получившего образование в Египте около 624-547гг. до н.э Он основал школу геометров, которая положила начало научной геометрии. Ученику Фалеса Пифагору Самосскому около 580-500гг. до н.э. принадлежат первые открытия в геометрии теория несоизмеримости некоторых отрезков, например, диагонали квадрата с его стороной, теория правильных тел, теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника.

Преемник Пифагора Платон 427-347гг. до н.э. ввел в геометрию аналитический метод, учение о геометрических местах и конические сечения. Существовавшая до сих пор элементарная геометрия была расширена, и ее назвали трансцендентной. Систематизировал основы геометрии, восполнил ее пробелы великий александрийский ученый Евклид III в. до н.э. в своем замечательном труде.

Начала Евклида - первый серьезный учебник, по нему в течение двух тысячелетий учились геометрии. Современные учебники элементарной геометрии представляют собой переработку Начал. Золотым веком греческой геометрии называют эпоху, когда жили и творили математики Архимед 287-195 гг. до н.э Эрастофен 275-195гг. до н.э Аполлоний Пергский 250-190гг. до н.э Измерение криволинейных образов связано с именем Архимеда. Он указал методы измерения длины окружности, площади круга, сегмента параболы и спирали, объемов и поверхностей шара, других тел вращения и др. Это были главные дополнения к Началам Евклида.

Трактатом о конических сечениях обессмертил свое имя Аполлоний. Трудами последнего, можно сказать, завершается классическая геометрия. Расцвет классической культуры в средние века сменился застоем. В изобразительном искусстве не используются применявшиеся в древности сведения о перспективе. Глубокий кризис затянулся до эпохи Возрождения.

И только с возрождением строительства и искусств в эпоху Ренессанса в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. В связи с развернувшимся строительством различных сооружений возродилось и расширилось применение употреблявшихся в античном мире элементов проекционных изображений. Наиболее бурно в это время развивались архитектура, скульптура и живопись в Италии, Нидерландах, Германии, что поставило художников и архитекторов этих стран перед необходимостью начать разработку учения о живописной перспективе на геометрической основе.

Появились новые понятия центр проецирования, картинная плоскость, линия горизонта, главные точки и т.д. Наблюдательная перспектива уже достигла своего высшего развития. Весомый вклад в развитие методов перспективных изображений внесли итальянский зодчий Лоренцо Гиберти 1378-1455гг он перенес принципы живописной перспективы на пластическое изображение в виде рельефа в церковных сооружениях, итальянский теоретик искусств Леон Баттиста Альберти 1404-1472гг. обогатил художественно-технический опыт мастеров-профессионалов теоретической разработкой основ перспективы, впервые упоминает о построении теней, Пиетра-делла-Франческа 1406-1492гг рассматривал вопросы линейной перспективы, гениальный итальянский художник, ученый и инженер Леонардо да Винчи 1452-1519гг обладая в совершенстве знаниями линейной перспективы, дополнил построением ее на цилиндрических сводах, положив начало панорамной перспективе.

В развитие перспективы большой вклад внес немецкий ученый и гравер Альбрехт Дюрер 1471-1528гг В своей книге Наставление он разработал основы рисования, предложил графические способы построения большого числа плоских и некоторых пространственных кривых, оригинальные способы построения перспективы и тени предмета.

Основателем теоретической перспективы по праву может считаться итальянский ученый Гвидо Убальди 1545-1607гг Работа Убальди Шесть книг по перспективе содержит решение почти всех основных задач перспективы.

Французский архитектор и математик Дезарг 1593-1662гг. в 1636г. в сочинении Общий метод изображения предметов в перспективе впервые применил для построения перспективы метод координат Декарта, что послужило появлению нового аксонометрического метода в начертательной геометрии. Зарождение аналитической геометрии связано с появлением метода координат. Французские математики Ферма 1601-1665гг. и Декарт 1596-1650гг. дали общие схемы функциональной аналитической зависимости геометрических соотношений и общие схемы изучения этой зависимости средствами алгебры и анализа.

Выдающийся труд Исаака Ньютона 1642-1727гг. в области бесконечно малых создал новую ветвь геометрии - дифференциальную. Методы приложения анализа бесконечно малых к геометрии характеризуются широкой общностью и находят применение в комплексе функций. Аналитические и дифференциальные методы сложны в применении. Геометрию надо строить геометрически Geometria geometrice - была поговорка среди математиков.

Появилась еще одна ветвь геометрии - проективная, в основу которой положен метод проектирования, где нет понятий о числе и величине. Творцами нового направления следует считать французских математиков Понселе, Шаля, Мебиуса. Основу этой науки заложил упомянутый выше Дезарг. Он указал, что изображение предмета в ортогональных проекциях и линейной перспективе родственны с геометрической точки зрения 1. Развитию вольной перспективы посвятил свои работы английский математик Тейлор 1685-1731гг разработавший способы решения основных позиционных задач и определения свойств оригинала по его перспективному изображению.

Немецкий геометр Ламберт 1728-1777гг. применил метод перспективы к графическому решению задач элементарной геометрии, используя свойства аффинного соответствия аффинная геометрия. Ламберт решал и обратную задачу - реконструирование объекта по его чертежу, выполненному в центральной проекции. Французский инженер Фрезье 1682-1773гг. объединил работы предшественников в труде Теория и практика разрезки камней и деревянных конструкций 1738-39гг им были решены задачи построения конических сечений по усложненным данным.

Однако строгой теории к представленному собранию отдельных приемов решения задач Фрезье не подвел. Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии является французский геометр Гаспар Монж 1746-1818гг Знания, накопленные по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, он систематизировал и обобщил, поднял начертательную геометрию на уровень научной дисциплины.

Нужно научить пользоваться начертательной геометрией - говорил Г. Монж. Две главные цели имела новая наука 1. Точное представление на чертеже, имеющем только два измерения, объектов трехмерных. 2. Выведение из точного описания тел всего, что следует из их формы и взаимного расположения. С этой точки зрения начертательная геометрия - это язык, необходимый инженеру, создающему что-то новое, и тем, кто осуществляет инженерный проект.

Влюбленный в свое детище - начертательную геометрию, Монж писал Очарование, сопровождающее науку, может победить свойственное людям отвращение к напряжению ума и заставить их находить удовольствие в упражнении своего разума что большинству людей представляется утомительным и скучным занятием. В 1797г. Монж стал директором Политехнической школы. Он создал там ту постановку преподавания геометрии, которая и теперь существует в высших технических заведениях.

Сильное впечатление производило то, что практические занятия проводились одновременно для 70 человек, которые работали над своими чертежными досками. Маленький шедевр - так Монж называл свою школу, давшую мировой науке много великих имен. Авторами учебников высшей школы стали Ампер, Пуассон, Кориолис, Беккерель и др окончившие эту школу в разные годы. Когда Политехническая школа набрала силу, стала создаваться другая - Нормальная, которая предназначалась для подготовки уже не инженеров, а преподавателей.

Профессорами этой школы были известные ученые Лагранж, Лаплас. Лекции, прочитанные Монжем, были стенографированы и позже опубликованы, сам он не интересовался опубликованием своих работ. Методы Монжа не были противоположны анализу, а были его дополнением, связанным с практическими потребностями инженерного дела. Впервые ученый предложил рассматривать плоский чертеж в двух проекциях, как результат совмещения изображенной фигуры в одной плоскости - комплексный чертеж или эпюр Монжа. В работе Г. Монжа Начертательная геометрияGeometric Descriptive, изданной в 1798г решались задачи 1 Применение теории геометрических преобразований. 2 Рассмотрение некоторых вопросов теории проекций с числовыми отметками. 3 Подробное исследование кривых линий и поверхностей, в частности применение вспомогательных плоскостей и сфер при построении линии пересечения поверхностей. 4 Появление начертательной геометрии было вызвано возраставшими потребностями в теории изображений.

Дальнейшее развитие начертательная геометрия получила в трудах многих ученых.

Наиболее полное изложение идей Монжа по ортогональным проекциям дал Г. Шрейбер 1799-1871гг написавший Учебник по начертательной геометрии по Монжу. Он обогатил начертательную геометрию изложением ее на проективной основе, применив идеи Шаля, Штаудта, Рейе, Штейнера и др разработал теорию теней и сечений кривых поверхностей. Заметны труды ученых немецкой школы. Геометр Вильгельм Фидлер в книге Начертательная геометрия, изданной в 1871г в органической связи с геометрией проективной представил первый обширный курс дисциплины, стоящий на уровне современных требований. Прогрессивными в преподавании были лекции Эмиля Мюллера, продолжившего научное направление Фидлера.

В работах А. Манигейма 1880г. исследованы вопросы кинематического образования кривых линий и поверхностей в ортогональных проекциях. Обоснование теории аксонометрии дал Вейсбах, технические примеры применения аксонометрии показали братья Мейер. Развивая теорию аксонометрии, профессор Академии изобразительных искусств и Строительной академии в Берлине Карл Польке 1810-1876гг. в 1853г. открыл основную теорему аксонометрии.

Доказательство этой теоремы в 1864г. вывел немецкий геометр Г.А. Шварц. Обобщенная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке - Шварца. Простое доказательство этой теоремы дал в 1917г. профессор Московского университета А.К. Власов. Московский геометр Н.А. Глаголев продолжил работы этого направления, он доказал, что теорема Польке - Шварца есть предельный случай более общей теоремы о параллельно-перспективном расположении двух тетраэдров.

Привлекают работы австрийского геометра Эрвина Круппа, получившие развитие в трудах русских ученых Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухина. В середине XIX века зарождается и получает развитие начертательная геометрия многих измерений - многомерная геометрия. Итальянский математик Веронезе и голландский ученый Скаутте дают начало этому новому направлению.

В России многомерная начертательная геометрия развивалась в связи с проблемами физико-химического анализа многокомпонентных структур сплавов, растворов, состоящих из большого числа элементов. Вместо точек за основные элементы принимаются различные геометрические образы, и строится бесчисленное множество плоских геометрических систем системы параллельных отрезков, векторов, окружностей и т.д К началу XX века относится зарождение векторно-моторного метода в начертательной геометрии, применяющегося в строительной механике, машиностроении.

Этот метод разработан Б. Майором и Р. Мизесом, Б.Н. Горбуновым. Развитие начертательной геометрии в нашей стране шло самобытными путями, его можно разделить на три периода. I период - до XIX века Р. Санников, И.П. Кулибин, Д.В. Ухтомский, М.Ф. Казаков, В.И. Баженов и др II период - от начала XIX века до 1917 года. Впервые курс начертательной геометрии в 1810 году прочитан в Петербургском институте корпуса инженеров путей сообщения французским инженером К.И. Потье. Перевел курс на русский язык помощник Потье по институту Я А Севастьянов 1796-1849 гг III период - советский.

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТАРНСТВО

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТАРНСТВО .

Исторический обзор аксимоматического построения проективной геометрии

Как самостоятельная дисциплина проективная геометрия была изложена Пон... Брионшона. Шаля. Штаудта, в которых были намечены также контуры аксиоматического постро... Клейну рассмотреть различные геометрии, систематизировать с точки зрен...

Расширенное евклидово пространство

Расширенное евклидово пространство. Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур. Если плоскости и пересекаются по прямой s, то всякая точка этой прямой... Перспективное отображение не сохраняет ни длины отрезка, ни середины о... Это обстоятельство вызывает необходимость подвергнуть евклидово простр...

Несобственные элементы пространства

Для исключения метрический свойств необходимо сделать один шаг большой... всякие две параллельные прямые имеют общую несобственную точку 4. совокупность всех несобственных точек плоскости есть несобственная пря... В отличие от евклидовой прямой, проективная прямая есть замкнутая лини... на проективной прямой понятие между не имеет смысла как бы ни были рас...

Аксиоматика проективной геометрии

4 Две различные плоскости б и в всегда принадлежат одной, и только одн... 5 Точка А и не принадлежащая ей прямая b всегда принадлежат одной, и т... Аксиомы порядка 1 Всякие две точки А и В, принадлежащие одной прямой а... Каждый из двух классов, определенных точками А и В, называется отрезко... С помощью понятие отрезка и определяется разделенность двух пар точек.

Аксиома непрерывности

Обозначим через Х произвольную точку первого класса, отличную от А, а ... Подобным же образом принцип непрерывности может быть посредством проек... Пусть все точки отрезка АВ разбиты на два класса см. рис1 причем точка А принадлежит к первому, а точка В ко второму классу. Принцип двойственности Геометрия проективного пространства, в отличие ...

Большой принцип двойственности принцип двойственности в пространстве

Большой принцип двойственности принцип двойственности в пространстве Каждому проективному предложению аксиоме, теореме относительно точек, прямых и плоскостей в пространстве соответствует второе, двойственное предложение, которое получается из первого заменой в нем слова точка словом прямая и слова плоскость словом точка.

Оба взаимно двойственных предложения верны, если доказано одно из них.

Малый принцип двойственности принцип двойственности на плоскости

Точка S называется точкой Дезарга или центром перспективности, а пряма... ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА Теорема Дезарга является фундаментальной теоремой прое... Два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга в пространс... Каждому проективному предложению относительно точек и прямых на плоско... Теоремы Дезарга, прямая и обратная, верны как в том случае, когда треу...

Доказательство векторным методом

ABABP, ACACQ, BCBCR, AABBCCO, Доказать P, Q, R лежат в одной прямой До... Следовательно, QАСАС 3 линейно зависимы точки В, С, R одной прямой лин... Доказательство векторным методом. Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников леж... Теорема Дезарга Если прямые проходящие через соответствующие вершины д...

Доказательство при помощи теоремы Менелая

Доказательство при помощи теоремы Менелая. В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем те... Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются... Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на тр... Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

Доказательство в проективной системе координат

Тогда получаем АА . Эту фигуру образуют десять точек шесть вершин двух треугольников, одна... n раз. Поэтому таким конфигурациям соответствует более просто символ Рассмотр... Все точки и все прямые конфигурации Дезарга совершенно равноправны, и ...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Жерар Дезарг

Дезарг Dйsargues Жерар 1593, Лион, 1662, там же по др. Дезарг написал небольшое сочинение под заглавием Общий метод изображен... Благодаря этому все учение о конических сечениях принимает чрезвычайно... Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке, которая я... Здесь и самый термин инволюция принадлежит Дезаргу и взят им из ботани...

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Вилейтнер Г История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем 2-е изд - М 1966. 2 Четверухин Н.Ф Проективная геометрия, 7 изд М Государственное учебно-педагогическое издательство, 1961, 360 с. ил. 3 Атанасян Л.С Базылев В.Т Геометрия Учеб. пособие для студентов физ мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч.2 М. Просвещение, 1987 352 с. ил. 4 Глаголев Н. А Проективная геометрия Учеб. пособие для студентов университетов, 2-е изд. М. Высшая школа, 1963. -344 с. ил. 5 Хартсхорн Р Основы проективной геометрии Учеб. пособие для студентов универститетов М. Мир,1970, ил 6 Ефимов, Высшая геометрия - М. Наука,1971 ил 7 Франгулов С.А Лекции по проективной геометрии - Л.ЛГПИ,1975. ил. 8 Вахмянина О.А Измайлова Т.С Пособие по проективной геометрии Учеб. пособие для студентов педагогических вузов - Оренбург ОГПИ,1994, с ил 9 Коксетер С.М. Новые встречи с геометрией М. Наука, 1978, с ил. 10 Базылев, Геометрия-М. Просвещение, 1975 11 Потоцкий Что изучает проективная геометрия - М Просвещение, 1982 12 Певзнер, Проективная геометрия учеб. пособие М. Просвещение, 1980 13 Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии Оренбург ОГПИ, 1995. 14 Каган В.Ф Очерки по геометрии, М Издательство Московского Университета, 1963. 572с.ил. 15 Комиссарук А.М. Проективная геометрия в задачах Учеб. пособие для математических факультетов педагогических институтов Минск Высшейшая школа, 1971, 320с.ил.