Расширенное евклидово пространство. Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур. Проективные свойства плоской фигуры это те ее свойства, которые сохраняются при всевозможных перспективных отображениях. Перспективное отображение плоскости на плоскость осуществляется путем проектирования точек плоскости на плоскость из некоторой точки О центра проекции, не лежащей ни в одной из этим двух плоскостей. Перспективное отображение сохраняет прямолинейное расположение точек и, значит, переводит, вообще говоря, всякую прямую плоскости в прямую плоскости. Если плоскости и пересекаются по прямой s, то всякая точка этой прямой совпадает со своим образом следовательно, всякие две соответственные прямые либо пересекаются на прямой s, либо обе параллельны s. Перспективное отображение не сохраняет ни длины отрезка, ни середины отрезка, ни меры угла, ни перпендикулярности, ни параллелизма прямых образами параллельных прямых являются, вообще говоря, пересекающиеся прямые.
Следовательно, все эти понятия длина отрезка, середина отрезка, мера угла, перпендикулярность, параллелизм не являются проективными и в проективных предложениях не могут встречаться.
Поэтому ни циркуль, ни треугольник не являются проективными чертежными инструментами.
Единственным проективным чертежным инструментом является линейка односторонняя, без делений как средство проведения прямых линий. Так как перспективное отображение может переводить параллельные прямые в пересекающиеся и наоборот, то оно не является взаимно однозначным на всякой прямой, лежащей в плоскости или и не параллельной линии пересечения s, имеется одна точка, для которой не существует в другой плоскости образа или соответственного прообраза. Это обстоятельство вызывает необходимость подвергнуть евклидово пространство своеобразной реконструкции путем присоединения к нему таких новых точек, чтобы в полученном расширенном пространстве перспективное отображение всегда было взаимно однозначным. Это делается следующим образом.