Несобственные элементы пространства. Для исключения метрический свойств необходимо сделать один шаг большой принципиальной важности, а именно, расширить наш взгляд на взаимное пересечение геометрических элементов. Как известно, в евклидовом пространстве на евклидовой плоскости каждая точка служит центром связки прямых пуска прямых I рода. Существуют также связки и пучки прямых II рода они состоят из параллельных прямых и центров не имеют.
Перспективное отображение переводит пучок II рода, вообще говоря, в пучок I рода. Поэтому отныне будем считать, что в пространстве всякая связка прямых, а на плоскости всякий пучок прямых, имеет определенный центр. Центры связок и пучков I рода это старые, собственные точки, а центры связок и пучков II рода это новые, несобственные точки.
Взаимное расположение собственных и несобственных точек определяется следующими соглашениями, вытекающими из определения несобственных точек 1. каждая прямая имеет одну несобственную точку 2. несобственная точка прямой принадлежит любой плоскости, проходящей через эту прямую 3. всякие две параллельные прямые имеют общую несобственную точку 4. всякие две параллельные прямые имеют различные несобственные точки 5. совокупность всех несобственных точек плоскости есть несобственная прямая той плоскости 6. всякие две параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую 7. совокупность всех несобственных точек пространства есть несобственная плоскость.
Прямая, дополненная несобственной точкой, называется проективной прямой. Плоскость, дополненная несобственной прямой, называется проективной плоскостью. Пространство, дополненное несобственной плоскостью, называется проективным пространством. В отличие от евклидовой прямой, проективная прямая есть замкнутая линия.
Поэтому она, как и окружность, обладает следующими порядковыми свойствами 1. точка проективной прямой не разбивает ее на две полупрямые 2. две точки проективной прямой разбивают ее на два смежных отрезка 3. на проективной прямой понятие между не имеет смысла как бы ни были расположены на ней три точки А, В, С, всегда один из двух смежных отрезков АВ не содержит точки С и потому можно, двигаясь по прямой, попасть из А в В, не пройдя через С. Порядок точек на проективной прямой определяется с помощью понятия разделенность если точки С и D принадлежат двум смежным отрезкам АВ, то говорят, что пара точек А, В разделяет пару С, D, и пишут АВ СД Если же С и принадлежат одному и тому же отрезку АВ, то говорят, что пара А, В не разделяет пары С, D, и пишут АВ СD. Аналогично определяется понятие разделенности для двух пар прямых одного пучка.
Две прямые а и b некоторого пучка прямых разбивают множество всех остальных прямых этого пучка на два класса.
Каждый класс заполняет пару вертикальных углов ab со сторонами a и b. Говорят, что пара прямых a, b разделяет или не разделяет пару прямых c, d данного пучка, смотря по тому, принадлежат ли с и d смежным углам ab или одному и тому же углу ab. Легко заметить, что разделенные пары прямых проектируют разделенные пары точек. Из указанных выше свойств проективной прямой вытекают следующие свойства проективной плоскости и проективного пространства 1 проективная прямая, лежащая в некоторой проективной плоскости, не разбивает эту плоскость на две полуплоскости 2 всякие две прямые, лежащие в одной проективной плоскости, разбивают эту плоскость на две смежные области 3 проективная плоскость не разбивает проективное пространство на два полупространства и потому является односторонней поверхностью.
Это значит, что по отношению к проективной плоскости а также по отношению к проективной прямой на плоскости не имеют смысла выражения по одну сторону и по разные стороны.