Доказательство при помощи теоремы Менелая. В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости.
Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.
Сформулируем теорему Дезарга. При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Теорема Менелая гласит Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ соответственно продолженных треугольника АВС коллинеарны, то. Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны. Теорема Дезарга Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.
Доказать P, Q, R коллинеарны Доказательство Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A B C перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точках R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек. Q,C ,A , R,B ,C , P,A ,B Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом Перемножим эти три выражения и, проделав умеренное число сокращений, получим , Точки Q, R, P коллинеарны.
Теорема доказана.