Общие сведения. Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, оно содержит производные неизвестных функций или их дифференциалы. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной.
Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно содержит несколько независимых переменных, функции этих переменных и частные производные этих функций. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение. Решением дифференциального уравнения называется система функций, подстановка которых вместо неизвестных обращает уравнение в тождество. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми.
Общими решениями дифференциальных уравнений называются решения, содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Частными решениями дифференциальных уравнений называются решения, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных. Особыми решениями дифференциальных уравнений называются решения, которые вообще не содержатся в общих решениях, т.е. не получаются из них при частных значениях произвольных постоянных.
Решения дифференциальных уравнений в частных производных содержат произвольные функции. Частное решение получается надлежащим выбором произвольных функций. 1.2