Решение задач по химии.
Многие процессы химической технологии описываются дифференциальными уравнениями - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами Это обусловлено следующим. Сущность химических реакций сводится к разрыву связей в исходных веществах и возникновению новых связей в продуктах реакции. При этом общее число атомов каждого элемента до и после реакции остатся постоянным.
Изменение концентрации с одного из реагирующих веществ в единицу времени t при постоянном объме называют скоростью химической реакции При этом безразлично, о каком из участвующих в реакции веществе идт речь все они связаны уравнением реакции, и по изменению концентрации одного из веществ можно судить о соответствующих изменениях всех остальных. С другой стороны, для осуществления химической реакции между веществами А и В, протекающей по формуле необходимо столкновение их молекул частиц.
Чем больше столкновений, тем быстрее протекает реакция. Число же столкновений тем больше, чем выше концентрация реагирующих веществ. Отсюда на основе обширного экспериментального материала сформулирован закон действующих масс скорость химических реакций пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Этот закон выражается уравнением где сАi - концентрации веществ Аi где i 1 n, k - коэффициент пропорциональности, называемый константой скорости реакции. Получили зависимость скорости реакции от концентрации и от е производной.
Такие зависимости, согласно п 1.1. представленной работы, и связываются дифференциальными уравнениями. В химии часто различают реакции по общему числу молекул, входящих в левую часть химического уравнения, которое называется порядком химической реакции. Так, А В - реакция первого, а А В С D - реакция второго порядка. Задача1. Вещество А превращается в вещество В. Определить первоначальное количество вещества А и время, когда останется половина этого вещества, если спустя 1 час после начала реакции осталось 44,8 г вещества А. А после 3 часов 11,2 г. Решение.
Здесь имеет место реакция первого порядка, n 1. Обозначим через а - первоначальное количество вещества А, через х - количество вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции, тогда дифференциальное уравнение имеет вид Разделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем Понятно, что при t 0 x 0, имеем С а, и, значит Используя дополнительные условия при t 1 x а - 44,8, при t 3 x а - 11,2, имеем а - 44,8 а1 - е-k, а - 11,2 а1 - е-k, или Найдм искомое время распада половины этого вещества.
Имеем Такой же результат можно было получить сразу после определения а 89,6 г, заметив, что 89,6 - 44,8 44,8 г - половина первоначального количества вещества, оставшаяся спустя 1 час после начала реакции по условию. Ответ. Первоначальное количество вещества А равно 86,9 г, время, когда останется половина этого вещества -1 час. Полученный результат хорошо соотносится с теорией радиоактивного распада, там, например, часто распад характеризуют не постоянной k, а временем распада половины наличных атомов - периодом полураспада.
Уравнение 1 не противоречит, открытому в 1905 году фон Швейдлером закону радиоактивного распада, по которому количество нераспавшихся атомов при естественно радиоактивном распаде экспоненциально уменьшается с течением времени. Задача2. В реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натрия первоначальные концентрации указанных веществ а 0, 01 и в 0, 002 соответственно.
Спустя 23 минуты концентрация уксусноэтилового эфира уменьшилась на 10. За какое время она уменьшится на 15 Решение. СН3СООС2Н5NaOHСН3СООNaС2Н5OHУксусноэтило вый эфирГидроксид натрияАцетат натрияЭтиловый спирт Здесь имеет место уравнение второго порядка, n 1. Обозначим через а - первоначальное количество уксусноэтилового эфира, через b - первоначальное количество гидроксида натрия, через х - количество и одного, и другого вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции x a, x b, тогда дифференциальное уравнение имеет вид Разделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем Понятно, что при t 0 x 0, имеем и, значит Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия при t 23 мин х 0, 01 0, 1 0, 001. Имеем Найдм искомое время. Имеем Ответ. Концентрация уксусноэтилового эфира уменьшится на 15 за 47, 9 минут.
Аналогично рассматриваются и реакции более высоких порядков.