Обыкновенные уравнения первого порядка. Основные понятия Обыкновенным уравнением первого порядка называется уравнение вида Fx, y, y 0, где F известная функция трех переменных, x независимая переменная, y неизвестная функция, y ее производная. Fx, y, y 0 неявный вид уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y fx, y или Мх, у dx Nх, у dy 0 называют уравнениями в нормальной форме в явном виде. Функция y цx при всех x из a, b называется решением дифференциального уравнения, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Соотношение Фх, у,С 0 называется общим интегралом уравнения, если у как неявная функция решение дифференциального уравнения. Частный интеграл получается из общего при частном значении С. Особый интеграл не содержится в общем интеграле.
График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Условия у у0 при х х0 в силу которых функция y цx принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения. Если дифференциальное уравнение первого порядка y fx, y, имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y цx,C, где C произвольная константа. Выражение цx,C называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка если - при всех допустимых значениях C функция y цx,C является решением уравнения, y fx, цx,C - при любых начальных условиях решения существует единственное значение константы C С0 такое, что функция y цx, С0 удовлетворяет данным начальным условиям цx0, С y0. Выражение цx,С0 называют частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка.
Оно получается из общего решения y цx,C при определнном значении константы C С0. Задача об отыскании частного решения дифференциального уравнения называют задачей Коши. Геометрически общее решение y цx,C - система интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной C , а частное решение цx,С0 - одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку x0, y0. 1.2.2.