Уравнения с разделнными и разделяющимися переменными

Уравнения с разделнными и разделяющимися переменными.

Уравнением с разделнными переменными называется уравнение вида f1xdx f2уdy где f1x и f2у непрерывные функции.

Переменными здесь считаются величины х и у. Это самый простой тип уравнений. Решение его находится непосредственным интегрированием f1xdx - f2уdy С, где C произвольная постоянная. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида y f1x f2у где f1x и f2у непрерывные функции. Пример. Решить уравнение y у x. Решение. В данном уравнении f1x 1х и f2у у. Разделяя переменные, получаем Интегрируя, имеем Для упрощения записи обозначили произвольную постоянную через, что возможно, т.к. может принимать любое значение от - до. Потенцируя, находим уС1х, что эквивалентно уравнению у С1 х. Полагая С1 С, окончательно получаем у Сх. 1.2.3. Линейные уравнения.

Уравнение вида y px y fx, где px и fx непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если fx 0, то уравнение y px y fx называется линейным однородным уравнением y px y 0. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле где C произвольная постоянная.

Если fx 0, то уравнение y px y fx называется линейным неоднородным уравнением. Решение неоднородного уравнения находится по методу вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что исходное уравнение записывается в форме y uцx, где цx e - px dx. Общее решение имеет вид 1.2.4. Уравнение Бернулли. Уравнение вида y px y fxуn, где px и fx непрерывные функции, называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается, так же как и линейное, подстановкой у uv или вариацией произвольной постоянной.

К линейному уравнению сводится подстановкой z y n 1 . 1.2.5.