Обыкновенные уравнения высших порядков. Основные понятия Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида Fx, y, y, y, yn 0, где F - известная функция n2 переменных x - независимая переменная, y - неизвестная функция, n - порядок уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме yn fx, y, y, y, yn-1. Функция yx называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке a, b и удовлетворяет уравнению для всех x из a, b. Общим решением уравнения называется функция у цх, С1 ,Сn, содержащая n произвольных постоянных и обращающая уравнение в тождество.
Соотношение Фх, у, С1 ,Сn 0 определяющее общее решение как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений.
Чтобы выделить единственное решение уравнения, т. е. решить задачу Коши, достаточно определить начальные условия yx0 y0 yx0 y0,1 yx0 y0,2 yn-1x0 y0,n-1. При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача имеет единственное решение. 1.3.2.