Понижение порядка дифференциального уравнения. Важным методом решения уравнения Fx, y, y, y, yn 0 является замена переменных, приводящая к уравнениям низшего порядка. Пример 1. Уравнение Последовательным интегрированием получаем общее решение у fx dxn C1xn-1 C2xn-2 Cn, или Пример 2. Уравнение Fx, yk, yk1 yn 0 заменой приводится к уравнению Fx, u, u un - k 0. Используя решение последнего уравнения u ux, находим у из уравнения Пример 3. Уравнение Fу, у, у уn 0 сводится к уравнению n 1 порядка после замены Пример 4. Уравнение Fx, у, у уn 0 называется однородным порядка k относительно у, у уn, если имеет место тождество Fx, kу, kу kуn tk Fx, у, у уn 0. Порядок уравнения понижается на 1 заменой 1.3.3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка.
Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида yn a1x yn-1 an-1 x y anx y fx, где y yx неизвестная функция, a1x, a2x, an-1x, anx, fx известные непрерывные функции.
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка Ly yn a1x yn-1 an-1 x y anx y. Уравнения yn a1x yn-1 an-1 x y anx y 0 и yn a1x yn-1 an-1 x y anx y fx, где fx 0, называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальными уравнениями n - го порядка.
Часто однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения записывают в виде Ly 0 и Ly fx соответственно. Если в однородном уравнении aix i 1, 2 n те же самые, как и в неоднородном, то однородное уравнение называется соответствующим данному неоднородному уравнению. Если y1, y2 yk частные решения однородного линейного уравнения Ly0, то их линейная комбинация y c1 y1 c2 y2 ck yk при произвольных постоянных c1, c2 ck так же является решением того же уравнения.
Система функций y1 y1x y2 x ynx называется линейно независимой, если их линейная комбинация c1 y1 c2 y2 cn yn ни при каких значениях c1, c2 cn, кроме c1 c2 ck 0, не обращается тождественно в нуль. Если функции y1, y2 . yk линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их называют фундаментальной системой решений. Общее решение однородного уравнения имеет вид y c1 y1 cn yn, где y1 yn фундаментальная система решений, cj произвольные постоянные.
Последние можно определить так, чтобы частное решение удовлетворяло начальным условиям у у0 уn 1 у0n 1 при х х0. Если известен частный интеграл y1x однородного уравнения, то подстановкой z yy1, а затем z u получим линейное уравнение порядка n 1. Общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Если известно общее решение c1 y1 cn yn соответствующего однородного уравнения, то решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных.
Решение имеет вид у с1ху1 с2ху2 сnхуn, где неизвестные функции сjх находятся из системы уравнений относительно Решив систему и получив находим сj ц хdx Аj, где Аj постоянные интегрирования. 1.3.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида yn a1 yn-1 an-1 y an y 0, где y yx искомая функция, a1, a2, an-1, an вещественные числа.
Решением такого уравнения является функция ekx, где k корень характеристического уравнения kn a1kn 1 an 1 k an 0. Если все корни k1, k2 kn различны, то ek1x, ek2x ekтx фундаментальная система решений и y c1ek1x c2ek2x cnekтx общее решение однородного уравнения с1, ,сn произвольные постоянные. Если корни k комплексные, то они при вещественных a1, a2, an-1, an попарно сопряжнные. Например kr б вi, kr1 б - вi, тогда и заменяются действительными функциями ебхcosвx и ебхsinвx с получением новой фундаментальной системы.
Если корень k ks имеет кратность m, то в фундаментальную систему решений, кроме, надо включить функции Если корень k б вi корень кратности m б вi корень той же кратности, если a1, a2, an-1, an вещественные, то в фундаментальную систему решений входят функции 1.3.5.