Некоторые уравнения математической физики.
Наиболее часто встречаются на практике линейные уравнения 2 порядка, называемые уравнениями математической физики. 1. Волновое уравнение описывает колебания некоторой среды 2. Телеграфное уравнение 3. Уравнение распространения тепла 4. Уравнения теории потенциала Дu 0 уравнение Лапласа Дu 4рс x, y, z уравнение Пуассона.
При решении уравнений второго порядка, обычно ищут частное решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям. Часть II. Применение дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно - научного цикла. Дифференциальные уравнения являются одним из самых популярных и мощных средств математического решения практических задач. Особенно широко они используются для решения задач естественно - научного цикла теоретической механики, физики, химии и биологии.
Во многих задачах геометрической оптики, геодезии, картографии и других областей естествознания возникает необходимость нахождения кривых по заданным свойствам проведенных к ним касательным. Обычно такие геометрические задачи решаются так же с помощью дифференциальных уравнений. 2.1. Математическое моделирование. В математическое исследование любой задачи реального мира можно выделить три основных этапа - построение математической модели явления - изучение этой математической модели и получение решения соответствующей математической задачи - приложение полученных результатов к практическому вопросу, из разрешения которого возникла данная математическая модель, и отыскание других вопросов, к которым она приложима.
При построении математической модели явления или процесса необходимы его идеализация и формализация. При идеализации явления отделяются условия, существенно влияющие на него, от условий, не оказывающих существенного влияния.
Классическим примером идеализированной модели является схема изучения движения маятника - математический маятник. В этом случае пренебрегают размерами и формой груза, сопротивлением воздуха, трением в точке подвеса, гибкостью нити и пр. Исследование этой идеализированной схемы можно уже формализовать, составив дифференциальное уравнение. Затем, необходимо исследовать, в каких границах допустимы сделанные приближения, как будет меняться условие при учте отброшенных факторов и т. д. Следует выяснить, какие ещ явления описываются той же самой формализованной математической моделью. 2.2.