Змст Вступ 3 Роздл 1. Основн теоретичн вдомост 1.1 Походження поняття похдно 1.2 Екстремуми функц 1.3 Зростання та спадання функц 1.4 Найбльше та найменше значення функц 1.5 Означення дотично, пд дотично, нормал 12 Роздл 2. Застосування похдно 2.1 Правила диференцювання 2.2 Дослдження функц та побудова графка 17 2.3 Застосування похдно для розв язування рвнянь 20 Список використано лтератури 21 Вступ Роздл алгебри та початкв аналзу Похдна та застосування займа значне мсце у шкльному курс математики, в першу чергу тому, що ма велике прикладне значення.
Основна складнсть поляга в тому, щоб навчити школярв застосувати похдну для дослдження функцй, розв язання прикладних задач алгебри та геометр. Показати алгоритми застосування похдно, що значно полегшу розв язання багатьох типв задач.
Об ктом дослдження дано роботи питання застосування похдно для дослдження функцй на монотоннсть та екстремум, побудова графкв функцй псля х повного дослдження, знаходження найбльшого та найменшого значення функц на вдрзку, прикладн задач на знаходження найбльшого та найменшого значення функц, складання рвняння дотично, нормал, пддотично текстов задач на екстремум функц. Робота складаться з вступу двох основних частин основн теоретичн вдомост, де наведено означення похдно, сторя виникнення похдно, основн теореми, необхдн та достатн умови зростання спадання функц, достатня ознака екстремуму функц, та наведен алгоритми розв язання конкретного типу задач другий роздл, який розбито на пдроздли, в якому розглядаються рзномантн приклади, наводиться х розв язання з повним поясненням.
Роздл 1 Основн теоретичн вдомост 1. Походження поняття похдно Ряд задач диференцального вирахування був виршений ще в стародавност. Основне поняття диференцального вирахування поняття похдно виникло в XVII ст. у звязку з необхднстю виршення ряду задач з фзики, механки математики, у першу чергу наступних двох визначення швидкост прямолнйного нервномрного руху побудови дотично до похдно плоско криво.
Перша з цих задач була уперше виршена Ньютоном. Функцю вн називав флюентою, тобто поточною величиною вд латинського fluere - текти, похдну ж - флюксей вд того ж fluere. Ньютон позначав функц останнми лтерами латинського алфавту u, x, y, z, а х флюкс, тобто похдн вд флюент за часом вдповдно тими ж лтерами з крапкою над ними Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з Ферма, розгляда нескнченно малий прирст часу dt, що вн позначав знаком х0, вдмнним вд нуля. Вираз x0, що позначаться нин називаться диференцалом dx, Ньютон називав моментом.
Ньютон прийшов до поняття похдно, виходячи з питань механки. Сво результати в цй област вн виклав у трактат, названому м Метод флюксй нескнченних рядв, що був складений близько 1671 р. Припускають, що Ньютон вдкрив свй метод флюксй ще в середин 60-х рокв XVII в однак вищезгаданий його трактат був опублкований посмертно лише в 1736 р. Математикв XV - XVII ст. довго хвилювало питання про перебування загального методу для побудови дотично в будь-якй точц криво.
Задача ця була звязана також з вивченням рухв тл з вдшуканням екстремумв найбльших найменших значень рзних функцй. Деяк окрем випадки виршення задач були дан ще в стародавност. Так у Початках Евклда даний спосб побудови дотично до окружност, Архмед побудував дотичну до спрал, що носить його мя, Аполлонй - до елпса, гперболи параболи.
Однак давньогрецьк вчен не виршили задачу до кнця, тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотично до будь-яко плоско криво в похднй точц. Перший загальний спосб побудови дотично до алгебрачно криво був викладений у Геометр Декарта. Бльш загального важливим для розвитку диференцального вирахування був метод побудови дотичних Ферма. рунтуючись на результатах Ферма та нших висновках, Лейбниц значно повнше свох попередникв виршив задачу, про яку йде мова, створивши вдповдний алгоритм.
У нього задача знаходження tg, тобто кутового коефцнта дотично в точц М, до плоско криво, обумовленою функцю, зводиться до знаходженню похдно функц y по незалежнй змннй x при даному значенн або в данй точц x x1. Можна навести й нш приклади, що показують, яку велику роль гра поняття похдно в науц технц прискорення похдна вд швидкост за часом, тепломнсть тла похдна вд клькост тепла по температур, швидксть радоактивного розпаду похдна вд маси радоактивно речовини за часом т.п. Вивчення властивостей способв обчислення похдних хн застосування до дослдження функцй склада головний предмет диференцального вирахування.
Перша друкована праця по диференцальному вирахуванню була опублкована Лейбницем у 1684 р. Це були мемуари, що зявилися в 1682 р. в математичному журнал Acta Eruditorum прототип Навчальних записок озаглавлений Новий метод максимумв мнмумв, а також дотичних, для якого не перешкодою дробов й ррацональн клькост, особливий для цього рд вирахування.
У цй статт, що складаться усього лише з 6 сторнок, мститься виклад сут методу вирахування нескнченно малих, зокрема викладаються основн Правила диференцювання. Отже, якщо в Метод флюксй як первсне поняття фгуру швидксть, то в Новому метод Лейбница таким поняттям дотична. Збльшення абсциси Лейбниц позначав через dx, що вдповда збльшенню ординати через dy. Нин уживаний символ похдно бере свй початок вд Лейбница.
У Лейбница основним поняттям була не похдна, для яко вн навть спецального термна не мав, а диференцал. У середин XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою лтерою для позначення прироств змнних величин, тобто y y2 y1, х x2 x1 т.д. Це позначення збереглося понин. Ми пишемо. Позначення для похдно ввв Лагранж. Сам термн похдна уперше зустрчаться у француза Луа Арбогаста в його книз Обчислення похдних, опублковано в Париж в 1800 р. Цим термном вдразу ж став користуватися Лагранж.
Термн цей швидко ввйшов у загальний ужиток, а Кош, використовуючи початкову лтеру цього термна, став позначати похдну символом Dy або Dfx. Термнологя Ньютона флюенти, флюкс його символи похдно утратили сво значення. Лише у фзиц механц в деяких випадках позначають крапками над лтерами похдн за часом. Перший друкований курс диференцального вирахування вийшов у свт в Париж в 1696 р. пд заголовком Аналз нескнченно малих. Його автор Г. Ф. Де Лопиталь за основу ц книги взяв рукопис Йоганна Бернулл, одного з найближчих спвробтникв Лейбница.
Ось чому цей курс варто розглядати як типовий добуток школи Лейбница. У першй же глав сво книги Лопиталь вимага, щоб величина, збльшена або зменшена на ншу нескнченно малу величину, могла бути розглянута як незмнна. Отут нескнченно мала розглядаться як нуль, можна вдкидати. Це один з фундаментальних принципв вирахування нескнченно малих Лейбница, нин вдкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь при установленн формул диференцювання.
У перший перод розробки математичного аналзу основоположники ц теор не могли досить чтко ясно обрунтувати принципи ц теор тому шукали пдтвердження правильност теор в узгодженост математичних висновкв з досвдом, з практикою при виршенн задач механки й астроном. Однак проста переврка гпотези на практиц не да абсолютно впевненост в непогршност. 1.2.
Екстремуми функц Точка х0 називаться точкою локального максимуму функц, якщо для будь-яких досить малих виконуться нервнсть. Точка х0 називаться точкою локального мнмуму функц, якщо для будь-яких досить малих виконуться нервнсть. Точки максимуму мнмуму називаються точками екстремуму функц, а значення функц в екстремальних точках екстремальними значеннями.
Необхдну ознаку локального екстремуму да така теорема Теорема 1.Якщо функця ма в точц х0 локальний екстремум, то або, або не сну. Проте виявляться, що цього недостатньо, бо може, а функця в цй точц екстремуму не ма. Точки, в яких функця визначена та неперервна, в цих точках або не сну, називаються критичними для функц.
Проте не в кожнй критичнй точц функця ма екстремум. Тому потрбн достатн ознаки снування екстремуму для функц f. х дають так теореми Теорема 2.Нехай функця неперервна в деякому нтервал, який мстить критичну точку х0, диференцйована у всх точках цього нтервалу за винятком, можливо, само точки х0. Якщо для х х0 , а для х0 x, то для хх0 функця ма максимум. Якщо для х х0 , а для х0 x, то для хх0 функця ма мнмум.
Теорема 3.Нехай функця два рази диференцйована в окол точки х0 . Тод в точц хх0 функця ма локальний максимум, якщо, локальний мнмум, якщо. Якщо ж, то точка хх0 може й не бути точкою екстремуму. Звдси виплива такий план знаходження екстремальних точок 1. знаходять критичн точки функц, тобто точки, в яких, або не сну 2. знаходять другу похдну обчислюють значення друго похдно в цих точках. Якщо значення друго похдно в критичнй точц вд мне, то така точка точкою максимуму, а якщо значення друго похдно додатне, то точка точкою мнмуму.
Якщо в критичнй точц, то нчого конкретного сказати не можна, бо в цй точц може бути екстремум, а може й не бути. Розглянемо тепер дослдження функц на екстремум на конкретних прикладах. Приклад 1. Дослдити на екстремум функцю Розв язання. Функця визначена диференцйована на R. Знайдемо похдну. Знайдемо нул похдно х2х-20, х1-2 х21. Отже, функця f ма дв критичн точки х1-2,х21. Оскльки похдна квадратним тричленом з додатним коефцнтом при х2, то на нтервалах, а на нтервал -21 . Похдна неперервна на R при переход через критичну точку змню знак на протилежний.
Оскльки при переход через критичну точку х-2 похдна змню знак з плюса на мнус, то в цй точц функця ма локальний максимум. При переход через точку х1 похдна змню знак з мнуса на плюс. Тому в цй точц функця f ма локальний мнмум. Приклад 2.Дослдити на екстремум функцю Розв язання. Функця визначена. Знайдемо похдну Критична точка х9. при переход через цю точку похдна змню знак з мнуса на плюс. Отже, в цй точц функця f ма локальний мнмум Крм того, похдна дорвню нулю в точц х0. оскльки справа вд ц точкидо х 6 функця не визначена, то в точц х0 функця набува найменшого значення . 1.3. Зростання та спадання функц Дослдження функц на зростання та спадання рунтуться на теорем математичного аналзу.
Теорема. Нехай функця неперервна на промжку a, б диференцйована в нтервал а, б.для того, щоб функця f була зростаючоюспадною на промжку a, б , необхдно достатньо виконання двох умов 1. 2. рвнсть не повинна виконуватися н в жодному нтервал, що мститься в a, б. Як наслдок ц теореми можна використовувати таку теорему достатня ознака строго монотонност Теорема.
Нехай функця f неперервна на промжку a, б диференцйована в нтервал а, б. Якщо, то f зростаспада на a, б. Тому для знаходження промжкв зростання та спадання диференцйовано функц дють у такий спосб 1. Знаходять аобласть визначення функц, якщо вона наперед не задана бпохдну дано функц вточки, в яких похдна дорвню нулю, для чого розв язують рвняння, а також точки, в яких функця визначена, але похдна не сну, х називають критичними точками. 2. Визначають знак похдно на конкретному нтервал, достатньо обчислити значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому нтервалу.
Приклад 1. Знайти промжки зростання та спадання функц Розв язання. Функця визначена диференцйована на множен R. Знайдемо похдну. Нулями похдно х11, х2 . Оскльки похдна неперервна, то вона зберга знак на нтервалах. Оскльки похдна задана квадратним тричленом з додатним коефцнтом при х2, то вона набува додатних значень поза коренями, тобто на нтервалах вд мних мж коренями, тобто на нтервал. Отже, на нтервалах функця f зроста, а на нтервал спада.
Приклад 2. Довести, що функця спада на R. Розв язання. Дана функця визначена диференцйована на R. Знайдемо похдну. Оскльки для, то дана функця f спада на R. 1.4. Найбльше та найменше значення функц Нехай дано функцю, яка неперервна на вдрзку ab, диференцйована в нтервал ab, за винятком можливо скнченого числа точок, де вона не сну. Необхдно ж знайти найбльше та найменше значення функц на цьому вдрзку.
А як вдомо з математичного аналзу, функця, яка неперервна на вдрзку, набува на ньому свого найбльшого найменшого значення. Чим викликана необхднсть знаходження найбльшого найменшого значення функц на вдрзку Справа в тому, що в практичних задачах, де процес, явище, закон, величина описуються певною функцю, змст само задач наклада певн обмеження на аргумент, тобто аргумент ма певн меж. Так, наприклад, кут трикутника може змнюватися лише вд 0 до П, швидксть тла доводиться розглядати в промжку часу вд t0 до t1 та нше. Тому й необхдно дослджувати поведнку функц на конкретному промжку ab або на його кнцях, то чинять так 1. знаходять критичн точки в нтервал ab точки, в яких похдна дорвню нулю або не сну, обчислюють значення функц в цих точках 2. знаходять значення функц на кнцях вдрзка, тобто 3. серед усх значень вибирають найбльше найменше значення.
У випадку, коли функця монотонна на вдрзку ab, то найбльшого найменшого значення вона досяга на кнцях вдрзка.
У цьому випадку обмежумось обчисленням значень. По-ншому складаться ситуаця, якщо необхдно знайти найбльше та найменше значення функц, неперервно в нтервал ab. Зрозумло, що функця у цьому випадку не може досягати найбльшого найменшого значення на кнцях нтервалу. Наприклад, функця в нтервал 36 не ма н найбльшого, н найменшого значення у внутршнх точках нтервалу.
У цьому випадку чинять так 1. знаходять критичн точки, що належать цьому нтервалу, обчислюють значення функц в цих точках 2. знаходять лву та праву границ вдповдно в точках а б, тобто. Якщо ц границ снують, то х порвнюють з значеннями функц в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках бльшменш за знайден границ, то це буде найбльшимнайменшим значенням функц на нтервал. Приклад 1. Знайти найбльше та найменше значення функц на вдрзку ab Розв язання.
На даному вдрзку функця визначена неперервна, диференцйована в нтервал-22. Знайдемо похдну, критичн точки х0 знайдемо значення функц в критичнй точц на кнцях вдрзка Отже Приклад 2. Знайти найбльше та найменше значення функц на вдрзку ab Розв язання. Функця визначена неперервна на вдрзку, диференцйна в нтервал -11. Тому вона набува на даному вдрзку найбльшого найменшого значення. Знайдемо критичн точки дано функц. Для цього знайдемо похдну прирвнямо до нуля х48х0 х0 х-2. Отже, на нтервал -11функця ма лише одну критичну точку х0. знайдемо значення функц в цй точц. Обчислимо значення функц на кнцях вдрзка Отже Вдповдь , 1.5. Означення дотично, пддотично, нормал Нехай функця yfx диференцйована в точц х0. рвняння дотично до графка функц yfx в цй точц ма такий вигляд, де х у бжуч координати дотично, f x0k кутовий коефцнт дотично, який дорвню значенню похдно в точц х0, тобто тангенс кута нахилу дотично до доданого напрямку ос абсцис.
Вдрзок АВ, що мститься мж абсцисою точки дотику точкою перетину дотично з вссю абсцис, називають пд дотичною. довжина дорвню х0-х1. Пряма МС, перпендикулярна до дотично в точц дотику М до графка функц уfx, називаться нормаллю.
Рвняння нормал записують у вигляд якщо f x0 в противному раз рвняння нормал х-х00. На цей матерал можна скласти ряд задач. Розглянемо деяк з них. 1. Дано абсцису точки дотику х0 графка функц уfx, а необхдно записати рвняння дотично, що проходить через точку з цю абсцисою.
Для цього знаходимо похдну функц уfx, значення в точц х0, тобто, та значення функц в точц х0, тобто. Цих даних достатньо, щоб записати рвняння дотично . 2. Який кут утворю дотична з додатним напрямком ос абсцис, якщо вдома абсциса точки дотику х0 Оскльки кутовий коефцнт дотично, то. Таким чином, задача зводиться до знаходження похдно функц уfx, тобто y f x, обчислення значення в точц х0. 3. Знайти гострий кут мж дотичними, проведеними до графкв функцй, що мають спльну абсцису х0 4. Знайти довжину дотично до графка функц уfx, абсциса точки дотику яко дорвню х0. Довжиною дотично прийнято називати вдстань мж точкою дотику до графка функц точкою перетину з вссю абсцис.
У цьому випадку знаходимо скористамося формулою Приклади Приклад 1. Знайти рвняння дотично до графка функц в точц з абсцисою х03. Розв язання. Знайдемо похдну функц, значення функц та похдно в точц х0 скориставшись рвнянням дотично, матимемо Звдси. Вдповдь. Приклад 2. Який кут з вссю абсцис утворю дотична до параболи yx2-4x8 в точц 35 Розв язання.
Безпосередньо пдстановкою координат задано точки в рвняння параболи переконумося, що вона й належить. Знайдемо похдну y 2x-4. Тод. Звдси Вдповдь Роздл 2 Застосування похдно 2.1. Правила диференцюваня Теорема Якщо функц ux x мають похдн у всх точках нтервалу a b, то uxx u x x для любого х a b. Коротше, u u Доведення Суму функцй uxx, де х a b, яка представля собою нову функцю, позначимо через fx знайдемо похдну ц функц, Нехай х0 деяка точка нтервалу a b. Тод Також, Так як х0 допустима точка нтервалу a b, то мамо Випадок добутку розглядаться аналогчно.
Теорема доведена. Наприклад, а б в Зауваження. Методом математично ндукц доводиться справедливсть формули u1x u2 x кнцевого числа складених. Теорема. Якщо функц ux x мають похдн у всх точках нтервалу a b, то для любого х a b. Коротше, Доведення. Позначимо похдн через х a b, найдемо похдну ц функц, виходячи з визначення. Нехай х0 деяка точка нтервалу a b. Тод Навть так як то Так як х0 вльна точка нтервалу a b, то мамо Теорема доведена.
Приклад, а б в Наслдок. Постйний множник можна виносити за знак похдно Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похдну де а число, отримамо Приклади. а б Похдна частки двох функцй. Теорема. Якщо функц мають похдн у всх точках нтервалу a b, причому для любого х a b, то для любого х a b. Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи визначення похдно. Нехай х0 деяка точка нтервалу a b. Тод, Навть, так як то послдовно Так як х0 вльна точка нтервалу a b, то в останнй формул х0 можна замнити на х. Теорема доведена.
Приклади. а б 2.2.
якщо непарна, а функця парна, то складна функця парна 4. добуток парних функцй парною функцю 3. Точки перегину вдсутн. Тому дослдження функц достатньо спочатку провести на промжку. Тод на промжку вн опуклий вниз.
Отже, функця зроста на всй числовй ос. К. Нехай а х 0, тод очевидно, 0 б х0, тод в x 0, тод знову ж таки 0. доведемо, що нших коренв рвняння не ма. 1974..