Свойства педального треугольника.
Свойство1. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны ax, by, cz, где R радиус описанной окружности. 2R 2R 2R Доказательство. Около каждого из полученных четырхугольников АС1РВ1, ВА1РС1, СВ1РА1 можно описать окружность рис.1. рис.2 Прямые углы в точках С1 и В1 указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ1С1. Аналогично, точка Р лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников СА1В1, ВС1А1.Опишем окружность около четырхугольника АВ1РС1 е диаметром будет АР рис.2. Пусть В1С1а, тогда на основании теоремы синусов для треугольника С1АВ а1sin A AP 1 Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим аsin A 2R 2 Разделив почленно равенство 1 на равенство 2 а1а АР2R а1аАР2R. Аналогично b1bBP2R с1 сСР2R , где b1C1A1 , c1 B1A1. Если АР x, ВР y, СР z, то длины сторон педального треугольника равны a1 ax2R b1by2R с1 сz2R. Таким образом, свойство доказано.
Замечание.
В частном случае, когда точка Р является центром описанной окружности xyzR, рис.3, длины сторон педального треугольника равны а1а2 b1b2 с1с2. рис.3 Свойство2. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.
Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника. Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историкам не удалось найти е в работах учного.
В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда точка Р лежит на описанной окружностирис.4. рис.4 Для определения будем считать, что точка Р лежит на дуге СА, не содержащей точку В. Все остальные случаи могут быть получены преобразованием вершин буквами А, В, С. Так как углы А1, В1 и С1 прямые, то точка Р также находится на окружностях, описанных вокруг треугольников А1ВС1, А1В1С и АВ1С1.Поэтому APC 180- B C1PA1 и, вычитая APA1, выводим, что A1PCC1PA. Но так как точки А1,С, Р, В1 лежат на окружности, то A1PCA1B1C, и так как точки В , А, Р, С лежат на окружности, то C1PAC1B1A, Таким образом, A1B1CC1В1A Отсюда следует, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой, т. е. Педальный треугольник вырождается. Наоборот, если точка Р расположена так, что педальный треугольник АВС вырождается, то, очевидно. Что точка Р должна лежать внутри одного из углов треугольника АВС и вне противолежащей ему стороны.
Переобозначая вершины, если это необходимо, мы можем предположить, что этот один угол является углом В и что точка С1 лежит на продолжении стороны ВА за точку А рис.4. Повторяя проведенные выше рассуждения об углах в обратном порядке, мы получим, что точка Р лежит на описанной окружности.
Следовательно, свойство доказано и справедливо. Замечание. Требование, чтобы точка педальная точка находилась внутри треугольника по определению, можно ослабить, запретив лишь этой точке лежать на окружности, описанной вокруг треугольника АВС рис.4.