Педальный треугольник

Научно практическая конференция школьников Понятия и свойства педального треугольника Подготовила Собенина Татьяна МОУ СОШ 10Б класс Руководитель Мельник Г.И. Г. Когалым Ханты-Мансийский АО 2005 год Содержание 1. Вступление. 2. Педальный треугольник стр.3-1 Определение педального треугольника. 2 Свойства педального треугольника. 3 Теоремы о педальном треугольнике. 4 Вычисление площади педального треугольника. 3. Ортоцентрический треугольник 1 Определение ортоцентрического треугольника. 2 Свойства ортоцентрического треугольника. 3 Теоремы об ортоцентрическом треугольнике. 4 Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру. 4. Практическая часть. Задачи и упражнения. 5. Список литературы. 6. Заключение. ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК План 1 Определение педального треугольника. 2 Свойства педального треугольника. 3 Теоремы о педальном треугольнике. 4 Вычисления площади педального треугольника. Педальный треугольник.

Определение. рис.1 Определение. Пусть Р - любая точка внутри данного треугольника АВС рис.1, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, АС, АВ треугольника, будут РА1 ,РВ1 и РС1. Треугольник А 1В1С1 , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки Р.

Свойства педального треугольника

Свойства педального треугольника. Свойство1. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x,... Около каждого из полученных четырхугольников АС1РВ1, ВА1РС1, СВ1РА1 мо... Все остальные случаи могут быть получены преобразованием вершин буквам... Наоборот, если точка Р расположена так, что педальный треугольник АВС ...

Теоремы о педальном треугольнике

Следствие. В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произволь... Следствие доказано. Теорема2. Следовательно, треугольник АВС и треугольник А3В3С3 имеют равные углы ... по первому признаку подобия треугольники подобны. Теорема доказана. Дл... 2 способ.

Вычисление площади педального треугольника

Так как данный треугольник и треугольник С1МВ1 отличается тем свойство... n0.Тогда SА1В1С1 4S3 b-2c-2 c-2a-2 a-2b-2 9. Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. Решение. n1.Тогда SА1В1С1 4S3 1bc 1ca 1ab a b c2 4S3 a b c2рa b c 2 S3 р р2a b ... Решение.

Определение ортоцентрического треугольника

Определение ортоцентрического треугольника . 2 Свойства ортоцентрического треугольника. 3 Теоремы об ортоцентрическом треугольнике. 4 Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.

Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру

Аналогично BCC1DFF1 и CAA1CBB1. рис.26 Непосредственно видно из чертежа, что положение ABC может быть ... Точно так же можно перевести его из этого положения в пятое вращением ... В результате, треугольник АВС совершает полный оборот и принимает то ж... Проследим теперь за теми изменениями, которые получит при этих последо...

Практическая часть. Задачи и упражнения

Практическая часть. Задачи и упражнения. Задачи и упражнения. 1. Тема Педальный треугольник. Задача 1. Определить стороны педального треугольника точки J центра вписанной окружности относительно треугольника АВС. Решение. рис.30 Пусть А1В1С1 педальный треугольник рис.30, тогда по теореме 1 В1С1 а1 Из прямоугольного треугольника АВ1J имеем АJ2 p-a2 r, так как АВ1 р-а, и В1Jr, где р. Следовательно, АJ2p-a2 p2 app2 cpb2 . Значит, АJ и В1С1 а1 . Итак, В1С1 2p-a. Аналогично С1А1 2 p-b. A1B1 2p-c. Задача решена.

Задача 2. Определить стороны педального треугольника точки G центра тяжести треугольника относительно треугольника АВС. Решение. рис.31 Пусть А1В1С1 педальный треугольник. Пусть стороны педального треугольника равны а1, b1, c1рис.31. По тереме1 a1 b1 c1 . Так как AG , то а1 a1 . Аналогично, b1 , c1 . Задача решена.

Задача 3. Две касательные к окружности, касающиеся е в точках В и С, пересекаются в точке А. Пусть А1В1С1 педальный треугольник равнобедренного треугольника АВС для произвольной точки Р на этой окружности. Показать, что РА12 РВ1РС1. Решение. рис.32 Проведм отрезки РВ, РС, С1А1, А1В1 рис32. Вписанные четырхугольники А1РВ1С и А1ВС1Р дают A1B1P A1CP BCP C1BP C1A1P, PA1B1 PCB1 PCB PBA1 PC1A1. Тогда треугольники РА1В1и РС1А1 подобны по первому признаку подобия, то есть по определению РА12 РВ1РС1. Задача решена.

Задача 4. Площадь треугольника со сторонами а, b, c равна S. Найдите площадь педального треугольника точки Брокара. Решение. По теореме 4, педальный треугольник точки Брокара относительно данного треугольника подобен последнему, причм a1b b1c c1a sin ц. Следовательно, отношение площади педального треугольника S1 точки Брокара к площади данного треугольника S равно S1S sin2ц. Так как sin2ц, то S1S , откуда S1 . Задача решена.