Теоремы о педальном треугольнике. Теорема1. Если из точки L внутри треугольника АВС опущены перпендикуляры la, lb, lс, соответственно на стороны a, b, c треугольника, то laha lbhb lс hc 1. Доказательство. Соединим точку L с вершинами треугольника.
Треугольник АВС разобьтся на три треугольника рис.5. рис.5 Имеем SaS la ha SbS lbhb ScSlchc. Сложив левые и правые части равенств, получим Sa Sb Sc S la ha lbhb lchc. Так как Sa Sb Sc S, то la ha lbhb lchc 1. Теорема доказана. Следствие.
В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника. Доказательство. В равностороннем треугольнике высоты равны, т.е. можно записать такое равенство la h lbh lch 1 la lb lch 1 la lb lc h. Следствие доказано.
Теорема2. Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трх других. Доказательство. Пусть OL, OM, ON- перпендикуляры, опущенные из произвольной точки О соответственно на стороны АВ, ВС, АС рис.6. рис.6 Тогда по теореме Пифагора из треугольников АОL и ВОL следует АО2 АL2 AO2 BL 2 или AL2 BL2 AO2 BO2. Аналогично, из треугольников ВМО и СМО ВМ2 СМ2 ВО2 СО2, А из треугольников CON и AON CN2 AN2 CO2 AO2 . Сложив эти равенства, получим AL2 BL2 BM2 CM2 CN2 AN2 0 или AL2 BM2 CN2 BL2 CM2 AN2. Теорема доказана.
Обратная теорема. Если на сторонах треугольника три точки определяют шесть отрезков так. Что сумма квадратов трх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трх других, то эти три точки можно рассматривать как проекции некоторой точки на стороны треугольника.
Доказательство метод от противного. Пусть данное нам утверждение не верно, т.е. если точки L, M, N не являются проекцией точки О на стороны треугольника, то AL2 BL2 BM2 CM2 CN2 AN20, что противоречит условию AL2 BM2 CN2 BL2 CM2 AN2. Теорема доказана. Следствие 1. Перпендикуляры, восстановленные из середин сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Следствие 2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. рис.7 Из треугольников BLC и ALC , выразив сторону CL по теореме Пифагора, имеем BL2 АL2 a2 b2 . Аналогично, из треугольников ВАМ и САМ CM2 - ВМ2 b2 c2 . Из треугольников СВN и АВN AN2 - CN2 c2 a2 . Сложив эти равенства, получим AL2 BM2 CN2 BL2 CM2 AN2. По обратной теореме 2, получим, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема доказана. Перейдм к одной очень интересной задаче, с помощью которой можно доказать следующую теорему о педальных треугольниках. В ней рассматриваются педальные треугольники педальных треугольников.
Данная задача в то же самое время прекрасно демонстрирует роль воображения в геометрии. Эта задача, по-видимому, впервые появилась в 1892 году, когда она была добавлена редактором Ж. Нейбергом в шестое издание классического труда Джона Кейси Продолжение первых шести книг Начал Евклида. рис.8 На рис.8 внутренняя точка Р использована для определения треугольника А1В1С1первого педального треугольника АВС. Та же самая педальная точка Р снова использовалась для определения педального треугольника треугольника А1В1С1, который мы обозначим через А2В2С2 и назовм вторым педальным треугольником треугольника АВС. Третья операция дат треугольник А3В3С3 педальный треугольник треугольника А2В2С2, где для третьего педального треугольника использовалась та же точка Р. В этих терминах открытие Нейберга можно выразить следующим образом. Теорема 3. Третий педальный треугольник подобен исходному.
Доказательство. Доказательство следует из чертежа рис.8, стоит лишь соединить точки Р и А. Если рассмотреть окружности, описанные вокруг треугольников АВ1С1, А2В1С2, А3В3С2, А2В2С1 и А3В2С3, то точка Р принадлежит каждой из них, поэтому C1AP C1B1P A2B1P A2C2P B3C2P B3A3P и PAB1 PC1B1 PC1A2 PB2A2 PB2C3 PA3C3. Другими словами, две части, на которые прямая АР делит угол А, имеют двойников одна- при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и, наконец, обе- при вершине А3. Следовательно, треугольник АВС и треугольник А3В3С3 имеют равные углы при вершинах А и А .Аналогично, они имеют равные углы В и В3, т. е. по первому признаку подобия треугольники подобны.
Теорема доказана.
Для того, чтобы перейти к следующей теореме, рассмотрим такое понятие, как точки и углы Брокара. Брокаром в 1875 году была поставлена следующая задача. В треугольнике АВС найти точку Q так, чтобы QAB QBC QCA. Точку Q обычно называют точкой Брокара. Угол ц, равный каждому из углов QAB, QBC, QCA, называется углом Брокара. Для построения точки Брокара приведм следующий способ Построим окружность, проходящую через точки А и С и касающуюся стороны АВ в точке А. Через А проведем АNВС. Эта прямая пересечт окружность в точке N. Точка пересечения прямой NB с окружностью есть искомая точка Q рис.9. рис.9 Доказательство.
Обозначим угол QBC через ц, тогда угол ANB также равен ц. Угол QAB, как составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги AQ и поэтому равен ц. Задача доказана. Также по рис.9 можно доказать, что расстояние от точки Брокара до вершин треугольника АВС равны AQ 2Rbsinцa, BQ 2Rcsinцb, CQ 2Rasinцc.
А синус угла Брокара вычисляется по следующей формуле sinц abc2Rv b2c2 c2a2 a2b2 или, т.к. abc4S R, sinц 2Svb2c2 c2a2 a2b2. Задача доказана. Теорема 4. Педальный треугольник точки Брокара подобен исходному. Доказательство. рис.10 1 способ. По свойству 1 педальных треугольников, имеем a1 aAQ b1 bBQ c1 cCQ 12R. Подставляя значения AQ,BQ,CQ рис.10 из только что доказанной задачи, имеем a1aab2Rsinц b1bb c2Rsinц c1cca2Rsinц 12R, a1b b1c c1a. Следовательно, педальный треугольник точки Брокара подобен данному по третьему признаку.
Теорема доказана. 2 способ. Доказательство данной теоремы построено на основе свойств педальных треугольников. Следствие. Педальный треугольник точки Брокара и данный треугольник имеют равные углы Брокара. Доказательство рис.10.