Вычисление площади педального треугольника. Решение. Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1 медальный треугольник точки М рис.11. рис.11 Тогда SА1В1С1 SС1МВ1 SA1MB1 SA1MC. Так как данный треугольник и треугольник С1МВ1 отличается тем свойством, что A M р, то SС1МВ1 S С1М МВ1 c b SС1МВ1 SС1М МВ1 c b. Так как С1М 2Sсn-1an bn cn, МВ1 2Sbn-1an bn cn, A1M 2San-1an bn cn, то SА1В1С1 4S3 сn-1 bn-1an bn cn2 c b 4S3 сn-2 bn-2an bn cn2 . Определив аналогично площади треугольников A1M В1 и A1M С1 и сложив полученные значения, найдм площадь педального треугольника SА1В1С1 4S3 bn-2cn-2 cn-2an-2 an-2bn-2 an bn cn2 . Задача решена.
Рассмотрим три случая, когда педальная точка данного треугольника занимает определнное место в нм, т.е. точку пересечения медиан центр тяжести, точку пересечения биссектрис центр вписанной окружности и точку пересечения высот ортоцентр. 1. Площадь педального треугольника центра тяжести.
Решение. рис.12 По определению медиан АККС, следовательно АК КСс0а0, т.е. n0.Тогда SА1В1С1 4S3 b-2c-2 c-2a-2 a-2b-2 9. SА1В1С1 49S3 a2 b2 c2 a2 b2 c2. Задача решена. 2. Площадь педального треугольника центра вписанной окружности.
Решение. рис.13 По свойству биссектрисы в треугольнике АК КСса, т.е. n1.Тогда SА1В1С1 4S3 1bc 1ca 1ab a b c2 4S3 a b c2рa b c 2 S3 р р2a b c2 S3 рa b c 4S2r2a b c Sr2R. Задача решена. 3.Площадь педального треугольника точки пересечения высот. Решение. рис.14 По свойству высот в треугольнике АВ1В1С с2а2, Таким образом, n2. Тогда SА1В1С14S3 3 a2 b2 c22 12 S3 a2 b2 c22. Задача решена.
ОРТОЦЕНТРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК План 1