Виды движений

Виды движений.

Если на плоскости фигура F конгруэнтна фигуре F, то существует некоторое движение, переводящее F в F . Оказывается, что на плоскости существует всего лишь четыре вида движений Параллельный перенос Симметрия относительно прямой осевая или зеркальная симметрия Поворот вокруг точки Скользящая симметрия композиция осевой симметрии и параллельного переноса вдоль оси симметрии.

Одним из этих движений и переводится F в F . 4.1. Параллельный перенос.

Реальным примером фигур, полученных друг из друга параллельным переносом, являются одинаковые окна на фасаде дома. Начертив на плане одно из окон, можно затем получить любое другое окно, сместив все точки первого в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это свойство и определяет параллельный перенос. Определение. Параллельным переносом называется такое преобразование фигуры, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Подробнее если при параллельном переносе точкам X и Y cопоставлены точки X и Y , то направленные отрезки XX и YY равны и одинаково направлены, так, что XX YY . Равные направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Поэтому можно сказать так параллельный перенос это преобразование ф, при котором все точки фигуры перемещаются на один и тот же вектор вектор переноса. Обозначение ф, где АВ вектор переноса. АВ Теорема 4.1. Параллельный перенос является движением. Доказательство.

Пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X и Y . Тогда, как следует из определения переноса, выполняется равенство XX YY . Согласно признаку равенства векторов из равенства XX YY следует равенство XYX Y . Поэтому X Y XY, откуда следует, что параллельный перенос движение, что и требовалось доказать. Частным случаем параллельного переноса можно считать тождественное отображение е. Ясно, что при тождественном отображении происходит параллельный перенос на нулевой вектор. 4.2. Поворот.

Пусть дана точка O. На окружности с центром O можно указать одно из двух направлений обхода - по часовой стрелке или против не. Этим задаются также два направления отсчта углов от идущих из точки O лучей - по часовой стрелке или против не. Поворот фигуры F вокруг центра O на данный угол ц в данном направлении определяется так каждой точке X фигуры F сопоставляется такая точка X , что, во-первых, OX OX, во-вторых, LX OX ц, и, в-третьих, луч OX откладывается от луча OX в заданном направлении.

Определение. Поворотом плоскости с вокруг данной точки O называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол б в одном и том же направлении. Обозначение сбО Теорема 4.2. Поворот является движением. Доказательство. Пусть O - центр поворота, б - угол поворота по часовой стрелке случай поворота против часовой стрелки рассматривается аналогично. Допустим, что точки M и N перешли при этом повороте в точки M и N . Треугольники OMN и OM N равны по двум сторонам и углу между ними OMOM , ONON и LMONLM ON . Из равенства этих треугольников следует, что MNM N , как соответственные стороны, т.е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками M и N . Если точки M, O и N лежат на одной прямой, то отрезки MN и M N буду либо суммой, либо разностью равных отрезков OM, ON и OM , ON . Поэтому и в этом случае MNM N , а значит поворот является движением, что и требовалось доказать.

Особый случай представляет поворот на 180о. Если O - центр такого поворота, то, чтобы построить точку, cсоответствующую точке X, достаточно продолжить отрезок XO за точку O на отрезок OX OX. Точки X и X в этом случае называют симметричными относительно точки O, а само преобразование центральная симметрия с центром в точке O уО . Т.к. симметричность точек X и X относительно некоторой точки O взаимна, то и симметричность фигур относительно точки взаимна.

А именно, если фигура F перешла при симметрии с центром O в фигуру F , то и F при этой симметрии перешла в F. В частности, фигура F может быть симметрична сама себе относительно точки O. Тогда говорят, что фигура F симметрична относительно точки O, и что точка O является центром симметрии фигуры F. Например, центр круга это его центр симметрии, точка пересечения диагоналей параллелограмма его центр симметрии.

Другой частный случай поворота тождественное отображение е. Ясно, что тождественное отображение можно рассматривать как поворот вокруг произвольной точки на угол 0о или на угол 360о. 4.3. Симметрия относительно прямой.

Пусть l фиксированная прямая. Возьмм произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую l. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок AX , равный отрезку АХ. Точка X называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой l, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X , есть точка X. Определение. Преобразование у фигуры F в фигуру F , при котором каждая е точка X переходит в точку X , симметричную относительно данной прямой l, называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и F называются симметричными относительно прямой l. Обозначение уl Если преобразование симметрии относительно прямой l переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой l, а прямая l называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника.

Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются осями симметрии ромба. Симметрию относительно прямой часто также называют отражением в прямой, осевой или зеркальной симметрией. Теорема 4.3.1. Преобразование симметрии относительно прямой является движением. Доказательство. Примем данную прямую у за ось декартовой системы координат рис.6. Пусть произвольная точка Аx y фигуры F переходит в точку А x y фигуры F . Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек А и А равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком x - x. Далее возьмм две произвольные точки Аx1 y1 и Bx2 y2. Они перейдут в точки А -x1 y1 и B -x2 y2. Имеем АB2 x2 - x12 у2 - у12 А B 2 - x2 x12 у2 - у12. Отсюда видно, что АBА B . А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение, что и требовалось доказать. Рис.6 Теорема 4.3.2. Движение ц является осевой симметрией с осью l тогда и только тогда, когда множество всех его неподвижных точек совпадает с l. Доказательство.

Пусть ц уl. Из определения осевой симметрии сразу следует, что l множество е неподвижных точек.

Проверим обратное утверждение пусть прямая l множество неподвижных точек движения ц. Образ произвольной точки Х при движении ц Х цХ. Если Х l, то Х Х. Если же Х l, то точка Х не является неподвижной, поэтому Х Х. Т.к. Х цХ, прямая l равноудалена от точек Х и Х, т.е. является серединным перпендикуляром к отрезку Х Х. Таким образом, для любой точки Х выполнено равенство цХ уlХ, т.е. ц уl. 4.4. Скользящая симметрия.

Заметим, что выделение скользящей симметрии в отдельный вид движения не совсем корректно, т.к. она является результатом последовательного выполнения осевой симметрии и параллельного переноса. Однако е свойства представляют определнный интерес. Определение. Композиция движений ф уl, где уl симметрия относительно прямой l, а ф параллельный перенос вдоль прямой l, не являющийся тождественным отображением, называется скользящей симметрией с осью l. Скользящая симметрия с осью l обладает двумя свойствами, которые е полностью характеризуют - она не имеет неподвижных точек - прямая l является е неподвижной прямой.

Теорема. Движение ц является скользящей симметрией с осью l тогда и только тогда, когда оно не имеет неподвижных точек, и l его единственная неподвижная прямая. Доказательство. Пусть ц имеет единственную неподвижную прямую l и не имеет неподвижных точек.

Возьмм на прямой l произвольную точку A и рассмотрим точки B цA, C цB. Ясно, что B, C l. Кроме того, CA в противном случае середина сегмента AB была бы неподвижной точкой движения ц. Отсюда следует, что B середина сегмента AC. Поэтому ф B A, а ф C B. BA BA Используя эти равенства, легко проверить, что точки A, B являются неподвижными точками композиции ф ц. Поэтому множество всех неподвижных точек движения ф ц BA BA содержит прямую AB l. Но тогда ф ц есть либо тождественное отображение, либо зеркальная симметрия уl. BA Равенство ф ц е невозможно, ибо из него следует ц ф. Но ц имеет неподвижную BA BA прямую, а параллельный перенос бесконечно много таких прямых.

Таким образом, ф ц уl, откуда ц ф уl. BA BA 5.