Исследование особых свойств осевой симметрии. Осевая симметрия занимает особое место среди движений с е помощью можно получить все известные нам движения. Чтобы выяснить, какое движение получается в результате композиции двух осевых симметрий с различными осями l и m, необходимо исследовать два возможных случая 1 прямые l и m параллельны 2 прямые l и m пересекаются.
Исследование 5.1. Пусть d расстояние между параллельными прямыми l и m. Введм систему координат так, чтобы ось Оx совпала с прямой l, а прямая m имела уравнение y d рис.7. Рассмотрим произвольную точку Мx y. При симметрии относительно прямой l точка М перейдт в точку Nx -y. Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой m перейдт в точку М1, что прямая m окажется серединным перпендикуляром к отрезку NМ1. Следовательно, середина отрезка NМ1 должна иметь координаты x d, а значит, сама точка М1 - координаты x y2d. Рис.7 Итак, произвольная точка Мx y перешла в точку М1x y2d, т.е. в такую точку М1, что ММ1 а0 2d. Это означает, что результатом композиции двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на вектор, перпендикулярный к этим осям, длина которого равна удвоенному расстоянию между осями.
Очевидно, что частным случаем композиции двух осевых симметрий с параллельными осями, когда оси совпадают, является тождественное отображение е. Исследование 5.2. Пусть О точка пересечения прямых l и m. Выберем на этих прямых точки А и В так, чтобы угол не был тупым рис.8. Поскольку при каждой из симметрий точка О остатся на месте является неподвижной, то она остатся неподвижной и в результате композиции этих симметрий.
Рис.8 Возьмм теперь произвольную точку М, отличную от О. Допустим, что она лежит внутри угла АОВ остальные случаи рассматриваются аналогично.
При симметрии относительно прямой l точка М перейдт в такую точку N, что ОN ОМ и LАОNLАОМ. Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой l перейдт в такую точку М1, что ОМ1ОN и LВОМ1LВОNLАОВLАОNLАОВLАОМ . Поэтому LАОМ1LВО М1 LАОВ2LАОВLАОN .LАОМ, а значит, LМ1ОМ2LАОВ. Итак, точка О осталась на месте, а произвольная точка М перешла в такую точку М1, что ОМ1ОМ и LМ1ОМ2LАОВ. Кроме того, направление поворота вокруг точки О от ОМ к ОМ1 такое же, как от ОА к ОВ на рис. против часовой стрелки.
Это означает, что результатом композиции двух осевых симметрий с пересекающимися осями является поворот вокруг точки пересечения осей на угол, вдвое больший угла между осями. Очевидно, что частным случаем композиции двух осевых симметрий с пересекающимися в точке О под углом 90о осями является поворот на 180о, т.е. центральная симметрия с центром в точке O. Из рассмотренных случаев вытекает важное свойство осевой симметрии осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию.
Поскольку и поворот, и параллельный перенос представляют собой результат композиции двух осевых симметрий, то каждое из этих движений сохраняет не только величину угла, но и его ориентацию. 6.