Исследование возможности существования других видов движений. В п.4 данного реферата были рассмотрены три вида движений параллельный перенос, поворот и осевая симметрия скользящая симметрия не включена в этот список, поскольку представляет собой композицию движений также напомним, что центральная симметрия и тождественное отображение являются частными случаями основных движений.
Возникает вопрос а существуют ли какие-то другие движения, отличные от перечисленных Важной характеристикой движения плоскости является множество его неподвижных точек. Оно устроено просто, и могут представиться лишь следующие четыре возможных случая 1 движение оставляет неподвижными три точки плоскости 2 движение оставляет неподвижными две точки плоскости 3 движение оставляет неподвижной одну точку плоскости 4 у движения неподвижных точек нет. Попробуем решить поставленный вопрос при помощи исследований каждого из этих случаев отдельно.
Исследование 6.1. Пусть при некотором движении ц остались неподвижными три точки плоскости - А, В, С, не лежащие на одной прямой. Попытаемся определить вид движения ц. В результате движения ц произвольная точка плоскости М переходит в точку М1. По определению движения М1АМА рис.9. Рис.9 Если точки М1 и М различные, то точка А лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Аналогично точки В и С лежат на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Но по условию точки А, В, С, не лежат на одной прямой.
Следовательно, точки М1 и М не могут быть различными, а значит, они совпадают. Таким образом, рассматриваемое движение переводит каждую точку плоскости в себя, т.е. является тождественным отображением. Вывод если движение ц оставляет неподвижным три неколлинеарные точки плоскости, то это движение тождественное отображение ц е. Исследование 6.2. Пусть при некотором движении ц остались неподвижными две точки плоскости - А и В. Попытаемся определить вид движения ц. В результате движения ц произвольная точка М, не лежащая на прямой АВ, переходит в точку М1 рис.10. Рис.10 Если точки М и М1 совпадают, то ц е, поскольку оно оставляет неподвижными три неколлинеарные точки А, В и М. Если же точки М и М1 различные, то из равенств АМАМ1 и ВМВМ1 следует, что прямая АВ является серединным перпендикуляром к отрезку ММ1. Иными словами, точки М и М1 симметричны относительно прямой АВ, все точки которой, как несложно заметить, остаются неподвижными. Таким образом, рассматриваемое движение переводит каждую точку плоскости в точку, симметричную ей относительно прямой АВ, а значит движение ц является осевой симметрией.
Вывод если движение ц е и оставляет неподвижным две точки плоскости, то это движение осевая симметрия ц уl. Исследование 6.3. Пусть при некотором движении ц осталась неподвижной лишь одна точка плоскости точка О. Попытаемся определить вид движения ц. В результате движения ц произвольная точка М, отличная от точки О, переходит в точку М1 рис.11. Поскольку ОМОМ1, то точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Рассмотрим симметрию, осью которой является этот серединный перпендикуляр.
При этой симметрии точка О останется неподвижной, а точка М перейдт в точку М1. Рис.11 Теперь представим, что движение ц выполнялось в два этапа сначала было выполнено какое-то неизвестное движение, а затем указанная осевая симметрия.
Нетрудно видеть, что неизвестное движение представляет собой композицию исходного движения ц и указанной осевой симметрии.
Это неизвестное движение должно оставлять точки О и М неподвижными. Тогда в результате осевой симметрии они перейдут в О и М1. Таким образом, оно может быть либо тождественным отображением, либо осевой симметрией с осью ОМ. Но тождественным отображением оно быть не может, иначе исходное движение было бы осевой симметрией и, соответственно, оставляло бы неподвижными все точки оси, что противоречит условию.
Следовательно, оно осевая симметрия с осью ОМ. Но тогда исходное движение состоит из композиции двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в точке О, а значит, является поворотом вокруг точки О. Вывод если движение ц оставляет неподвижным только одну точку, то это движение поворот вокруг неподвижной точки ц сбО . Исследование 6.4. Пусть при некотором движении ц не осталось ни одной неподвижной точки.
Попытаемся определить вид движения ц. В результате движения ц произвольная точка М переходит в точку М1 . Теперь представим, что движение ц выполнялось в два этапа сначала было выполнено какое-то неизвестное движение, а затем осевая симметрия, осью которой является серединный перпендикуляр к отрезку ММ1 рис.12. Поскольку при этой симметрии точка М переходит в М1, то неизвестное движение должно оставлять точку М неподвижной.
Таким образом, оно может быть либо тождественным отображением, либо осевой симметрией, либо поворотом вокруг точки М. Но тождественным отображением оно быть не может, иначе исходное движение было бы осевой симметрией, что противоречит условию. Рис.12 Осевой симметрией оно может быть только в том случае, когда е ось параллельна серединному перпендикуляру к отрезку ММ1 иначе вс движение представляло бы собой композицию двух осевых симметрий с пересекающимися осями, т.е. поворот а это вновь противоречит условию.
В этом случае вс движение представляет собой параллельный перенос. Остатся проверить, было ли неизвестное движение поворотом вокруг точки М, т.е. результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с осями, пересекающимися в точке М. Поскольку серединный перпендикуляр к отрезку ММ1 не проходит через точку М, то исходное движение ц представляет собой в этом случае композицию трх осевых симметрий, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу две из них пересекаются в точке М. Такого движения мы до сих пор не рассматривали. Выясним, действительно ли оно не имеет ни одной неподвижной точки.
Рис.13 Предположим, что неподвижной остатся некоторая точка А. Это означает, что в результате первой симметрии она перешла в точку А1 возможно точку А1, совпадающую с А, в результате второй - в точку А2, а в результате третьей - вновь в точку А рис.13. Если все три точки различны, то оси первой, второй и третьей симметрий - это серединные перпендикуляры к отрезкам АА1, А1А2 и А2 А. Поэтому если АА1А2 - треугольник, то оси пересекаются в одной точке, а если точки А, А1 и А2 лежат на одной прямой, то оси параллельны друг другу.
И то, и другое противоречит условию. Противоречит условию и случай, когда какие-то из этих точек совпадают. Вывод если движение не оставляет ни одной неподвижной точки, то это движение либо параллельный перенос, либо последовательное выполнение трх осевых симметрий, оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке.
Теперь можно ответить на поставленный вопрос помимо параллельного переноса, поворота и осевой симметрии есть ещ одно движение, представляющее собой последовательное выполнение трх осевых симметрий, оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке. Наши исследования показали, что других движений нет. Итак, любое движение представляет собой либо осевую симметрию, либо поворот, либо параллельный перенос, либо последовательное выполнение трх осевых симметрий, оси которых не параллельны друг другу и не проходят через одну точку.
Учитывая результаты проведнных исследований и особые свойства осевой симметрии см. п.4.3.2, можно сформулировать окончательный вывод любое движение представляет собой либо осевую симметрию, либо последовательное выполнение двух или трх осевых симметрий. 7.