Движения как группа геометрических преобразований. Пусть D множество всех движений плоскости. На этом множестве определены две операции 1 операция композиции движений 2 операция взятия обратного движения.
Будем говорить, что D является группой относительно указанных операций, или группой преобразований. Кроме множества всех движений плоскости можно указать и другие группы преобразований, например, множество T всех параллельных переносов. А вот множество всех осевых симметрий группой преобразований не является, т.к. композиция двух осевых симметрий не осевая симметрия. Аналогично, нельзя назвать группой преобразований и множество всех центральных симметрий. Однако можно доказать, что множество S всех центральных симметрий и параллельных переносов, вместе взятых, уже представляет собой группу.
Вообще, множество всех преобразований, которые что-то сохраняют, как нетрудно понять, всегда будет группой, чем бы ни было это что-то. К таким группам относятся - группа всех движений плоскости они сохраняют расстояния между точками - группа преобразований подобия они сохраняют отношения расстояний - группа аффинных преобразований они сохраняют прямые - группа проективных преобразований они сохраняют прямолинейное расположение точек - группа круговых преобразований они переводят какую-то систему линий в нее же. Группы преобразований играют в геометрии ключевую роль. Можно даже определить евклидову геометрию как теорию, изучающую свойства фигур, не изменяющиеся под действием элементов группы движений.
С той же точки зрения можно рассматривать и другие, неевклидовы геометрии, которым соответствуют иные группы преобразований. Феликс Клейн поместил понятие группы в фундамент геометрии.
Но оно глубоко проникло и в такие области математики, как анализ и комбинаторика, не говоря уже об алгебре. Существует целая наука, изучающая группы, которая так и называется теория групп. На основе понятия групп была построена топология. Группы стали рабочим инструментом и в таких