Матричный формализм в теории систем. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Рассмотрим линейное n - мерное пространство Un. Пусть задано правило, которое ставит в соответствии произвольному вектору X пространства Un определенный вектор Y того же пространства. В этом случае вектор X называется прообразом, а вектор Y - образом вектора X. Это правило называется преобразованием пространства Un или оператором, заданном в пространстве Un. Преобразования операторы будем условно обозначать буквами А,В,С, Например можно написать, что 1 АХ Y Равенство 1 читается так преобразование оператор А, примененное к вектору Х, ставит ему в соответствие вектор Y. Преобразование оператор называется линейным преобразованием линейным оператором, если выполнено условие 2 A Х Y АХ АY 3 А ?Х ? АХ , где произвольное число таким образом, линейное преобразование переводит сумму векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число в произведение образа того вектора на это же число.
ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРСТРАНСТВО. Пусть Х n - мерное линейное пространство и у Ах -линейное преобразование на пространстве Х. Пусть X1?X является некоторым подпространством Х, обладающим однако, тем свойством, что если х?Х1, то и у Ах?Х1. Подпространство Х1, обладающее подобными свойством, называют инвариантным относительно линейного преобразования у Ах. Особенно интересны одномерные инвариантные пространства, представляющие собой прямые в пространстве Х, проходящем через начало координат.
Если х - произвольная точка пространства Х б - вещественная переменная, меняющаяся от до то dx будет представлять собой одномерное подпространство Х, проходящее через х при б 0 , как показано на рисунке 2. x2 3 dx 2 x1 Такое одномерное подпространство будем обозначать R1. Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые инвариантны относительно у Ах, т.е. для любого x?R1, имеет место у Ах?R1. Обозначим через ? отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т.е. можно записать у ?х, таким образом если R1 -инвариантное пространство, то для х?R1 имеет место равенство 4 Ах ?х Вектор х?0, удовлетворяющий соотношению 4 называют собственным вектором матрицы А, а число собственным значением матрицы А. Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение 4 в ином виде, введя тождественное преобразование х Iх. При этом получим 5 А I х 0 Соотношение 5 представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая может быть записана в явном виде как a11 x1 a12x2 a1nxn 0 6 a21x1 a22 x2 a2nxn 0 an1 x1 an2x2 a nn xn 0 Матрица вида А I 6 называется характеристической матрицей А. Определитель характеристической матрицы называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы.
Из свойств решения уравнения 6 нетривиальное решение отличное от нуля возникает только тогда, когда имеется бесчисленное множество решений 7 det A I a0?n a1?n-1 an-1? 0 Подставив любое собственное значение в исходную систему уравнений 6 , получим уравнение 8 А iI х 0 которое имеет непрерывное решение, так как det A iI 0 Это решение дает вектор хi, определяемый с точностью до скалярного множителя.
Этот вектор называется собственным вектором матицы А. Свойства 1. Если собственные числа матрицы А различны корни характеристического уравнения не равны, то порождаемые или собственные векторы образуют систему линейно независимых векторов. 2. Если матрица А симметрическая, то собственные числа такой матрицы всегда вещественны, а собственный вектор в матрице образует систему ортогональных векторов.
Линейные пространства, элементами которых являются, упорядоченные последовательности n-вешественных чисел называются векторами.