Разностные уравнения. Всякое соотношение, связывающую решетчатую функцию x n и ее разности до некоторого порядка K 11 Ф n, x n , Д x n Дkx n 0, называется разностным уравнением. Соотношение 11 можно записать 12 Ф n, x n, x n 1 ,x n 2 , ,x n k 0, уравнение порядка K. Рассмотрим пример. 13 Д3x n Д2x n 2Дx n 2x n f n 13 можно переписать x n 3 -2x n 2 3x n 1 f n, если m n 1, тогда 14 x m 2 -2x m 1 3x m f m-1 Таким образом, уравнение 13 является уравнением второго порядка.
Решетчатая функция x n, которая обращает уравнение в тождество, называется решением разностного уравнения.
Решение разностного уравнения РУ определяется наиболее просто, если РУ порядка К можно разрешить относительно функции x n k, т.е представить в виде 15 x n K F n, x n, x n 1 , ,x n k-1 Зададим К начальных условий при некотором значении аргумента n n0 x n0 x0, x n0 1 x1 x n0 K-1 xk-1 Соотношение 15 определяет по заданным начальным условиям значение решения при n n0 K. Используя значение x n0 K , вычислим последовательно x n0 K 1 , x n0 K 2 и все остальные x n при n?n0 K. Решение РУ 15 x n ? n, x0, x1, ,xk-1 . Рассматриваемая начальные условия мы получим общее решение уравнения 15 как функцию К произвольных постоянных C0,C1, ,Ck-1 16 x n ? n,C0,C1, ,Ck-1 Линейное РУ порядка К 17 a0 n Дrx n a1 n Дr-1x n ar n x n f n где r?K, f n, a0 n, a1 n , ,ar n - заданные решетчатые функции.
Данное уравнение называется неоднородным РУ, если правая часть f n ?0, в противном случае это уравнение однородно.
Если решетчатые функции ?1 n ?l n являются решением линейного однородного РУ x n K b1 n x n K-1 bk n x n 0, то функция l ? n ? Ciоi n, где i 1,2, ,l - произвольные постоянные, i 1 также является его решением.
Совокупность К линейно независимых решений разностного однородного уравнения порядка К называется фундаментальной системой решений.
Если при n?n0 существует фундаментальная система решений ?1 n, k n однородного разностного уравнения, то общее решение этого уравнения выражается k ? n ? Ci?i n i 1 Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения x n K b1 n x n K-1 bk n x n f n равно сумме частного решения ш n и общего решения соответствующего однородного ур-я, т.е. k x n ш n ? Ci?i n i 1 где Ci - произвольные постоянные, Ei n - решение однородного уравнения, удовлетворяющие W E1 n0 , ,Ek n0 ?0 определитель. Z - преобразования и его свойства.
U y t рис. 3. Для изучения свойств и соотношений, связывающих входные и выходные последовательности системы, изображенной на рис.3, воспользуемся Z-преобразованием.
На рис.3 показана модель системы вход U с импульсным модулятором. Определение Z-преобразование. функции U 0 ? представляет собой функцию U комплексной переменной Z определяемую выражением ? 18 U z Z U ? U nT Z-n, где n 0 Т-период повторения импульсного модулятора.
Замечание Если U имеет разрыв в любой дискретный момент kT, смысл соотношения 18 становится не вполне понятным.
Поэтому будем всегда считать U nT U nT , n 0,1, ,т.е. все функции от времени, которые будут преобразовываться в дискретные, будут равны 0 для t 0, и если они непрерывны в некоторые дискретные моменты, то должны существовать значения U nT- и U nT . Пример функция времени z-преобразование 1 t 1 1-z-1 e-бt 1 1-z-1e-бt Согласно 18 U z определяется степенным рядом от z-1. Этот ряд сходится для всех z за пределами окружности z Ru, где Ru lim SVp v U nT n ? Будем полагать, что каждая рассматриваемая функция имеет конечный радиус сходимости.
Если U является входом импульсного модулятора, то его выход равен ? U ? U kT д t-kT k 0 Такая последовательность импульсов имеет преобразование Лапласа ? U S ? U kT e-srT k 0 Сравнивая 18 с данным соотношением, замечаем, что U z z esT U S Th. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3. Пусть H z будет Z-преобразованием импульсной реакции h. Пусть у будет реакцией при нулевом состоянии на входе U, прикладываемый в момент t 0. Тогда получим 19 Y Z H Z U Z ,для Z max Ru,Rk Выражение 19 аналогично выражению Y S H S V S , которое устанавливает зависимость реакции при нулевом состоянии, импульсной реакции U входа непрерывной системы.
По этой причине будем называть H Z дискретной передаточной функцией или передаточной функцией, Z-функцией 20 H Z U Z ? ylz-e Y Z , Z max Rh, Ru l 0 Формула для нахождения последовательности y kT , т.е. дискретного выхода.
Свойства Z-преобразования. 1. Теорема линейности. Z бf бZ f ? комплексных чисел б Z Rf Z f g Z f Z g ? Z max Rf,Rg 2. Теорема обращения f nT 1 2?j ?Г F Z Z-1 dZ, n 0,1 где Г - любая замкнутая спрямляемая кривая, охватывающая начало координат и лежащая вне окружности Z R Rf. 3. Теорема о начальном значении. f 0 lim F Z Z ? 4. Теорема сдвига. Если F Z есть Z- преобразование последовательности f0,f1,f2 то Z-1F Z есть Z-преобразование последовательности 0,f0,f1,f2 1.6.