Моменты многомерных случайных величин. Как и для одномерных, случайных величин, для случайных векторов вводят понятие начального и центрального моментов.
Рассмотрим случайный n-мерный вектор - столбец Х с координатами х1, х2, ,хn Смешанным начальным моментом порядка k1 k2 kn случайных, величин х1 хn называется математическое ожидание произведения 12 бk1, k2 kn M x1k1, x2k2 xnkn Смешанным центральным моментом порядка k1, k2 kn случайных, величин х1 , ,хn называется математическое ожидание произведения x10 k1 x20 k2 xn0 kn соответствующих центрированных случайных величин т.е. 13 мk1, k2 kn M x10 k1 x20 k2 xn0 kn Вычислим момент первого порядка для координат вектора X 14 б0, ,0,1,0, ,0 M x1 0 xi-1 0 xi xi 1 0 xn 0 M xi Отсюда, следует, что начальные моменты первого порядка для системы n-случайных величин, есть математическое ожидание этих случайных величин.
Математическим ожиданием случайного вектора Х называется вектор, координатами которого являются математические ожидания соответствующих координат случайного вектора Х, т.е. 15 M X T M x1 M xn Рассмотрим момент второго порядка, пусть имеем две случайные величины хi, уi. Вычислим смешанный центральный момент второго порядка. Согласно равенству 13 имеем 16 м1,1 M xi0yj0 Смешанный центральный момент второго порядка случайных величин называется корреляционным моментом и обозначается Кij. Кроме корреляционного момента двух случайных величин, для характеристики связи случайных величин введем безразмерный коэффициент rij, равный отношению корреляционного момента Kij случайных величин хi, уj к положительному значению квадратного корня из произведения дисперсией этих случайных величин.
Этот коэффициент называется коэффициентом корреляции случайных величин т. е. Kij 18 rij vD xi D xj Рассмотрим случайный вектор Х с коэффициентами х1, х2 хn. Матрица К, составленная из корреляционных моментов для всех координат этого случайного вектора k11 k12 k1n k21 k22 k2n 19 K M X0 X0 T M Xi0Xj0 kn1 kn2 knn называется корреляционной матрицей случайного вектора Х. из свойств корреляционного момента следует, что Кij Кji, т.е. матрица К является симметричной 20 КT К Пусть выполняется линейное преобразование случайного вектора Х, задаваемого в некотором базисе матрицей В, т.е. 21 Y ВХ При линейном преобразовании 21 случайного вектора Х корреляционная матрица Y равна Кy ВКxВT 22 КОВАРЦИОННАЯ МАТРИЦА. Если имеется не две, а большее число случайных величин, например, х1, ,хn, то резко возрастает и число числовых параметров, характеризующих эти величины.
Кроме n-первых моментов, определяющих математическое ожидание случайных величин необходимо определение еще вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии каждой случайной величины и коварцией между каждой парой случайных величин.
Всю совокупность случайных величин Х1 Хn, удобно представить в виде случайного вектора столбца X1 23 X X1, ,Xn T Xn Тогда совокупность математических ожиданий компонент этого вектора запишем в виде вектора математических ожиданий x1 24 X M X x1, ,xn T xn Совокупность вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии 25 д2xi M xi-M x 2 , i 1, ,n и коварции 26 cov xixj M xi-M xi xj-M xj, i, j 1, ,n, i?j Удобно записать в виде коварционной матрицы 27 Pxx M X-M X X-M X T Диагональные члены этой матрицы представляют собой дисперсии.
Коварционная матрица является симметричной.