Линейные операции над случайными функциями. Выясним, как образуются математические ожидания и корреляционные функции случайных функций при осуществлении над ними линейных операций 1. Сложение случайных функций.
Возьмем две случайные функции X t , Y t. Пусть известны моменты этих функций до второго порядка включительно M X t ,M Y t , Kx t1,t2 ,Ky t1,t2 Kxy t1,t2 Найдем математическое ожидание случайной функции 15 Z t X t Y t В силу линейности операции определения математического ожидания имеем 16 M Z t M X t M Y t т.е. математическое ожидание суммы случайных функций равно сумме математических ожиданий этих случайных функций.
Вычитая из равенства 15 равенство 16 , получим центрированную случайную функцию 17 Z0 t X0 t Y0 t Вычислим корреляционную функцию суммы случайных функций Х t Y t. По определению корреляционной функции имеем 18 Kz t1, t2 M Z0 t1 Z0 t2 M X0 t1 Y0 t2 X0 t1 Y0 t2 Kx t1, t2 Kxy t1, t2 Kyx t1, t2 Ky t1, t2 Таким образом, корреляционная функция суммы двух случайных функций равна сумме всех корреляционных и взаимно корреляционных функций этих случайных функций. 2. Дифференцирование случайных функций.
Случайная функция Y t называется производной в среднем квадратичном от случайной функции Х t по аргументу t, если существует предел X0 t h - X0 t 2 19 lim M -Y0 t 0 h 0 h Случайную функцию, для которой существует производная в среднем квадратичном, будем называть дифференцируемой. Случайная функция X t называется непрерывной в среднем квадратическом, если существует предел 20 lim X t X t0 h 0 Корреляционная функция производной dX0 t dt Y0 t равна d2K t1,t2 21 Ky t1,t2 dt1dt2 Взаимная корреляционная функция процесса Х0 t и его производной равна 22 Kxy t1,t2 dK t1,t2 dt2 Из этих равенств по индукции можно показать справедливость соотношения dn mKx t1,t2 23 Kx n x m t1,t2 dt1n dt2n где x n t и x m t - соответственно n-я и m-я производные в среднем квадратичном случайной функции Х t . 3. Интегрирование случайной функции.
Пусть заданы случайная функция Х T и неслучайная функция q t, T , где параметр T изменяется в интервале а, в. Разобьем интервал а, в точками T0 а,T0, ,Tn в, на n частей и составим сумму n 24 ? X0 Ti q t,Ti Ti-Ti-1 i 1 значение Ti выбрано произвольно в промежуткеTi-1?T?Ti. Рассмотрим предел в среднем квадратическом суммы при n ? и max Ti-Ti-1 0 n 25 lim ? X0 Ti q t, Ti Ti-Ti-1 n ? i 1 Если этот предел существует, то он называется интегралом от случайной функции X0 t в среднем квадратическом с весом q t,T и обозначается b n 26 Y X0 T q t,T dT lim ? X0 Ti q t,Ti ДTi a n ? i 1 Рассмотрим случайную функцию Y t. Согласно определения интеграла от случайной функции получим b 27 Y t ? X T q t,T dT a Математическое ожидание случайной функции Y t b 28 M Y t ? mx T q t,T dT, где mx M X t a Из неравенства 28 следует, что если существует интеграл, то математическое ожидание интеграла от случайной функции Х t равно интегралу от математического ожидания этой случайной функции.